Problemas Oscilaciones Amortiguadas

PROBLEMAS

DE OSCILACIONES.

Oscilaciones amortiguadas.

Autor: Jos´e Antonio Diego Vives
Documento bajo licencia
Creative Commons 3.0, BY-SA
(Atribuci´on-CompartirIgual)

Problema 1
Un oscilador arm´onico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad/s y cuyo par´ametro
de amortiguamiento es β = 9 s−1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posici´on de equilibrio. En
elinstante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm/s.
Para este sistema se pide:
(a) Expresar la elongaci´on del oscilador en funci´on del tiempo.
(b) Calcular el m´aximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posici´on de equilib-

rio.
(c) Calcular el tiempo que deber´a transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadasse

reduzca a un 0,1 % del valor m´aximo anteriormente calculado.

Soluci´on

Planteamiento
En este problema debemos trabajar con las ecuaciones que describen el movimiento oscilatorio
amortiguado (MA):
x(t) = A0 e−βt sin(ωt + φ)
ω=
ω02 =

k
,
m

ω02 − β 2
2β =

A = A0 e−βt
E = E0 e−2βt = E0 e−t/τ

b
1
= ,
m
τ

f=

ω
,
2π

T =

1
2π
=
.
f
ω

donde A0 y E0 son la amplitud y energ´ıa inicial delmovimiento, β el par´ametro de amortiguamiento, τ el tiempo de relajaci´on de la energ´ıa, ω la frecuencia del oscilador amortiguado,
ω0 la frecuencia natural del oscilador (sin amortiguamiento), φ la fase inicial, k es la constante
el´astica de la fuerza recuperadora (F = −k x), m la masa de la part´ıcula, b es el coeficiente de
amortiguamiento que aparece en la fuerza de rozamiento viscosa queamortigua el movimiento
(Fr = −b v) y T y f el periodo y la frecuencia del del movimiento.

(a) Expresar la elongaci´on del oscilador en funci´on del tiempo

Para determinar x(t) necesito evaluar A0 , ω y φ.
La fase inicial se puede obtener imponiendo que x(0) = 0:
x(0) = A0 e−βt sin(ωt + φ) = 0 → sin(φ) = 0 → φ = 0
La frecuencia angular del movimiento se puede calcular directamente con los datos delproblema:
ω=

ω02 − β 2 = 12 rad/s

Y para determinar A0 podemos hacer uso del valor de v en t = 0:
dx
= ω A0 e−βt cos(ωt) − β A0 e−βt sin(ωt)
dt
v(0) = ω A0
v(t) =

Por lo tanto, sustituyendo los datos del problema:
A0 =

v(0)
=
ω

v(0)
ω02 − β 2

= 0,05 m

Finalmente nos queda:

x(t) = 0,05 e−9t sin(12 t)

(en m y s)

(b) Calcular el m´aximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partirde su posici´on de equilibrio.

Para determinar el m´aximo desplazamiento, podemos buscar el instante de tiempo en que la velocidad se hace cero por primera vez y luego sustituir en
x(t).

x =5 e✁9 t sin (12 t)

5.0

2.5

x (cm)

Como muestra la figura, el m´aximo desplazamiento
de la part´ıcula no tiene lugar en el instante en que
sin(ωt) = 1 (es decir, cuando x = A e−βt ), sino un
poco antes yaque la funci´on sin(ωt) est´a multiplicada por la funci´on decreciente en el tiempo A e−βt .

0.0

 2.5

 5.00.0

0.1

0.2

0.3

t (s)

0.4

0.5

0.6

x en funci´on de t de este movimiento

Igualando a cero la velocidad:
v(t) =

dx
= A0 e−βt (ω cos(ωt) − β sin(ωt)) = 0
dt

vemos que esto se cumple cuando ω cos(ωt) = β sin(ωt). Por tanto:
ω cos(ωt) = β sin(ωt) → tan(ωt) =

ω
β

Haciendo laarcotangente de ω/β y despejando t nos queda:
ω t = tan−1

ω
β

→ t=

1
tan−1
ω

ω
β

= 0,0772 s

Sustituyendo este valor de t en x(t) queda:

xmax = 0,05 e−9·0,0772 sin(12 · 0,0772) = 0,01995 m

0.7

(c) Calcular el tiempo que deber´a transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se
reduzca a un 0,1 % del valor m´aximo anteriormente calculado.

Queremos ahora que la amplitud de lasoscilaciones (A0 e−βt ) sea el 0,1 % de xmax :
x = xmax · 0,001 = 1,99 · 10−5 m
De la ecuaci´on x(t) podemos despejar el tiempo en funci´on de x:
x = A0 e−βt → − β t = ln(x/A0 ) → t =

Sustituyendo el valor calculado para x (0,001 xmax ) queda:

t = 0,869 s

1
ln
β

x
A0

Problema 2
Una masa de m = 0,5 Kg, unida a un muelle de constante el´astica k = 250 N/m, oscila con una amplitud
inicial A0 =...