problemas para olimpiadas

Olimpiadas Internacionales

Olimpiadas Internacionales

Problemas Resueltos Nº 18

2006

Aquí se viene el número 18 de nuestros fascículos, empezamos por la “samba brasileira”, estaba mirando algo de las Olimpiadas de Brasil, y encontré estos problemitas y bueno por moneda
al aire salieron estos, ojala que haya sido una moneda inteligente….

Problemas Resueltos Nº 18

Como
tantoProblema 1
ABC es un triángulo acutángulo de base AB = b e altura CH = h . Se trazan infinitos cuadrados son dentro de ABC de tal forma que cada cuadrado posee dos de sus vértices

2006

h b
(b + h ) 2
⎛h b⎞
= 2 + ⎜ + ⎟ ≥ 4 , pues ( h − b )2 ≥ 0 ⇔ h2 + b 2 ≥ 2bh ⇔
+ ≥ 2 . Por lo
bh
b h
⎝b h⎠

2
( b + h )2
bh

≤

2
1
1
= . Tomando b = h , la razón vale exactamente
, luego lamáxima
2
4
2

razón entre las áreas es

1
.
2

sobre los lados BC y CA del triángulo y los otros dos vértices apoyados sobre el cua-

Solución: Los autores de la Olimpiada – Traducción del portugués por Aldo Gil C.

drado anterior (el primer cuadrado está apoyado sobre AB ).

Problema 2

a) ¿Cual es la suma de las áreas de todos los cuadrados, en función de b y h ?

Encontrartodas las soluciones de la ecuación m -16=5(n+2).2 , donde m y n son en-

b) ¿Cual es la mayor razón posible entre el área del primer cuadrado y el área del

teros positivos.

3

n

Fuente: OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA RIO DE JANEIRO – 2004-Nivel 4 –Problema 5

triángulo?
Fuente: OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA RIO DE JANEIRO – 2004-Nivel 4 –Problema 1

Solución

Solución

Para valorespequeños de n tenemos:
a) Por semejanza de triángulos
ABC
C

n = 1 : m3 − 16 = 30 ⇒ m3 = 46 ⇒ m ∉ Ζ
n = 2 : m3 − 16 = 80 ⇒ m3 = 96 ⇒ m ∉ Ζ

y

CDE,

tenemos

que:

b
bh
x
=
⇔ x =
, luego la
h h−x
b+h

S´

razón de semejanza entre los

E

D

h
. Por
dos triángulos es λ =
b+h

h
x

S

eso,
B

A

S'
h2
= λ2 =
.
S
( b + h )2

Las áreas de loscuadrados for-

b

man, por lo tanto, una P.G. de
razón λ2 . Como el área del primer cuadrado es x 2 =

b 2h 2
(b + h )2

, la suma de las áreas de los

(

= x 2 1 + λ2 + λ4 +

)= x

cuadrado es al área del triángulo es

x2
bh
2

b 2h 2
bh 2
1 ⎞
(b + h )2
=
⋅
⎜
⎟=
2
2
2
2
b + 2h
⎝ 1 − λ ⎠ (b + h ) (b + h ) − h

2⎛

b) El área del primer cuadrado es x 2 =

b 2h2
(b + h )2

=

2bh

_______
EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD

Ahora, para n ≥ 4 tenemos 5 ( n + 2 )2n múltiplo de 32.
Luego, m3 = 16 + 5 ( n + 2 )2n es múltiplo de 24 y por lo tanto el factor 2 aparece por
menos dos veces en la factorización de m. Elevando al cubo, m3 es múltiplo de 26 = 64
y por lo tanto m3 − 5 n( n + 2 )2n no puede ser igual a 16 (pues es múltiplo de32).
Solución: Los autores de la Olimpiada – Traducción del portugués por Aldo Gil C.

Problema 3
Juan nació antes del 2000. El 25 de agosto del 2001 cumple tantos años como es la
tifique que es la única solución posible.
Solución

=

2
( b + h )2
bh

cumple el año 2001 está dada por 2001 (1900 + 10x + y) = 101 - 10x - y.

+ x + y. Por otra parte, la edad que Juan

.

_______Pág. 1

Sea 19 xy el año de nacimiento de Juan,
de modo que la suma de sus dígitos es 10

, luego la razón entre el área del primer

( b + h )2

n = 4 : m3 − 16 = 1920 ⇒ m3 = 1936 ⇒ m ∉ Ζ

suma de los dígitos del año de su nacimiento. Determine su fecha de nacimiento y jus-

cuadrados es:
x 2 + x 2 λ2 + x 2 λ4 +

n = 3 : m3 − 16 = 200 ⇒ m3 = 216 ⇒ m = 6

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EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD

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Igualando ambos valores, se tiene que

nos 7. Con x = 7, obtenemos y = 7. Con

Sea a el piso del apartamento de Eduar-...