Problemas resueltos de algebra lineal

Colección de Problemas Resueltos. Volumen I.
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad Mecánica.
Curso 2004-05.

Índice General
I Boletines Resueltos de los Bloques Temáticos Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable. 2
Boletín 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices. Boletín 2. El Espacio Vectorial Rn .Ortogonalidad y Mínimos Cuadrados Boletín 3. Diagonalización de Matrices Boletín 4. Funciones de una Variable. Diferenciación y Aplicaciones Boletín 5. Integral de Riemann. Aplicaciones 3 27 60 78 93

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Exámenes Resueltos de Cursos Anteriores

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112 123 132 141 151 160 170 179 191

Primer Parcial. Curso 2002-03 Segundo Parcial. Curso 2002-03 Examen de Junio. Curso 2002-03 Examen deSeptiembre. Curso 2002-03 Examen de Diciembre de 2003 Primer Parcial. Curso 2003-04 Segundo Parcial. Curso 2003-04 Examen de Junio. Curso 2003-04 Examen de Septiembre. Curso 2003-04

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Parte I

Boletines Resueltos de los Bloques Temáticos Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable.

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Boletín 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices.
1. Resolverlos siguientes sistemas por el método de Gauss-Jordan y por el método de Gauss.   x1 + x2 + 2x3 = 8   2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 −x1 − 2x2 + 3x3 = 1 −2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 a) b)   3x1 − 7x2 + 4x3 = 10 8x1 + x2 + 4x3 = −1    x − y + 2z − w = −1  −2b + 3c = 1   2x + y − 2z − 2w = −2 c) d) 3a + 6b − 3c = −2  −x + 2y − 4z + w = 1   6a + 6b + 3c = 5  3x − 3w = −3    4x1 − 8x2 = 12  2x1 − 3x2= −2 2x1 + x2 = 1 3x1 − 6x2 = 9 f) e)   3x1 + 2x2 = 1 −2x1 + 4x2 = −6 ½ ½ 5x1 − 2x2 + 6x3 = 0 x1 − 2x2 + 3x3 = 0 g) h) −2x1 + x2 + 3x3 = 1 −2x1 + 4x2 − 6x3 = 1 Solución: En todos los apartados aplicaremos primeramente el método de Gauss y a continuación el método de Gauss—Jordan.       1 1 2 1 1 2 1 1 2 8 8 8 F21 (1) F2 (−1) 1  −→  0 9  −→  0 (a)  −1 −2 3 −1 5 1 −5 −9  F31 (−3) 3 −74 10 0 −10 −2 −14 0 −10 −2 −14     1 1 2 1 1 2 8 8 F32 (10) F3 (−1/52) −5 −9  −→  0 1 −5 −9 . −→  0 1 2 0 0 −52 −104 0 0 1 Por consiguiente, el sistema inicial es equivalente al sistema triangular superior   x1 + x2 + 2x3 = 8 x2 − 5x3 = −9  x3 = 2 Así, el sistema dado es compatible determinado (C.D.) y usando única solución es x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2. Seguimos realizando lastransformaciones elementales (t.e.) en la (forma escalonada).      1 1 2 1 1 0 4 8 F23 (5) F12 (−1)  0 1 −5 −9  −→  0 1 0 1  −→  F13 (−2) 2 0 0 1 2 0 0 1 3 el método de subida su última matriz ampliada 1 0 0 0 1 0 0 0 1  3 1 . 2

Boletín 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

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  x1 = 3 Luego, el sistema inicial es equivalente a x2 = 1 y su solución ya está dada.  x3 = 2      2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 F2 (1/2) F21 (2) F2 (1/7) 1  −→  −2 5 2 1  −→  0 1  −→ 7 4 (b)  −2 5 2 F31 (−8) 8 1 4 −1 8 1 4 −1 0 −7 −4 −1     1 1 1 1 1 1 0 0 F23 (7)  0 1 4/7 1/7  −→  0 1 4/7 1/7  . 0 0 −7 −4 −1 0 0 0 En consecuencia, el sistema es compatible indeterminado (C.I.), ya que la matriz escalonada posee dos unos principales y aparece, por tanto, x3 como variable libre. Elsistema inicial es ½ x1 + x2 + x3 = 0 equivalente al sistema y el conjunto de sus soluciones puede escribirse x2 + 4x3 /7 = 1/7   x1 = −1/7 − 3t/7 x2 = 1/7 − 4t/7 con t ∈ R. en la forma  x3 = t Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada (forma escalonada).     1 0 −3/7 −1/7 0 1 1 1  0 1 4/7 1/7  F12 (−1)  0 1 1/7  . −→ 4/7 0 0 0 0 0 0 0 0 x1− 3x3 /7 = −1/7 y el conjunto de soluciones x2 + 4x3 /7 = 1/7   x1 = −1/7 − 3s x = 1/7 − 4s con s ∈ R. también puede expresarse en la forma  2 x3 = 7s     1 −1 2 −1 −1 1 −1 2 −1 −1  2 0  F2 (1/3) 1 −2 −2 −2  F21 (−2)  0 3 −6 0  −→  −→  (c)   −1  F31 (1)  0 1 0  1 −2 0 2 −4 1 F41 (−3) 3 0 0 −3 −3 0 3 −6 0 0     1 −1 2 −1 −1 1 −1 2 −1 −1  0 0  F32 (−1)  0 0  1 −2 0 1 −2...