Problemas resueltos de derivadas

PROBLEMA DERIVADA ALGEBRAICA.
Las leyes de la física indican que sí un cuerpo (es decir, un objeto material) cae libremente a una distancia de s pies en t segundos, entonces s = 16t2. Hallar ds/dtcuando t cambia de t0 a t0 + dt. Utilizar el resultado para encontrar ds/dt cuando t cambia de 3 a 3.5.

s = 16t2

ds/dt = (16(t0+dt) 2 – 16t02) / dt = (32t0dt + 16(dt)2) / dt = 32t0+ 16dt

ds/dt = (32 * 3) + (16 * 0.5)

ds/dt = 104 pies/ segundos.

PROBLEMA DERIVADA TRIGONOMETRICA.

Un cohete viaja a razón constante de 1000 mi/h según un Angulo de 45 gradoscon la horizontal. Véase la Figura 4.19.
a) ¿Cuál es la velocidad con la que aumenta su altitud?
b) ¿Cuál es la velocidad con respecto a tierra del cohete.

Como se observa en la figura se obtienela forma de un triangulo rectángulo, cuyo ángulo es de 45 grados formado con la tierra. Ahora bien le llamaremos D a la hipotenusa, p al cateto opuesto y r al adyacente. El primer inciso nos pide laaltitud que lleva el cohete, usando la función trigonométrica seno desarrollaremos el primer inciso.
senӨ = p/h
Entonces:
hsenӨ = p
Derivando:
hcosӨdӨ/dt + senӨdh/dt = dp/dt
El angulo (dӨ/dt) nocambia se mantiene constante, por lo tanto:
senӨdh/dt = dp/dt dp/dt es nuestra incognita.
Sen45(1000) = dp/dt Sustituyendo.
707.10 mi/h = dp/dt

Para el inciso butilicemos otra función trigonométrica, coseno.
cosӨ = r/h
hcosӨ = r
Derivando:
H(-senӨ)dӨ/dt + cosӨdh/dt = dr/dt
Nuevamente el ángulo permanece constante por lo tanto tendremos:
cosӨdh/dt = dr/dtdr/dt es nuestra incognita.
Cos 45(1000) = dr/dt Sustituyendo.
707.10 mi/h = dr/dt

PROBLEMA DERIVADA EXPONENCIAL.

La semivida o vida media del carbono-14 es aproximadamente 5715años. Si se tiene una muestra de 1g de carbono-14. ¿Que cantidad existirá dentro de 10000 años?

Planteando una función en base a la vida media del elemento en particular.

Y= (½) t/5715...