Problemas Resueltos De Induccion Matematica

PROBLEMA 1.
Escribamos la sucesión de los números impares en orden de magnitud: 1, 3, 5, 7, … Designemos primero por u1 el segundo por u2 , el tercero por u3 , etc.; así, se establece: u1 = 1, u2 = 3, u3 = 5, u4 = 7, … Ahora vamos a plantear el problema de hallar una fórmula que exprese el número impar un en términos de su índice n. SOLUCIÓN. El primer número impar u1 puede escribirse en laforma u1 = 2 * 1 - 1; (1) El segundo número impar u2 puede escribirse de la forma u2 = 2 * 2 - 1; (2) El tercer número impar u3 puede escribirse de la forma u3 = 2 * 3 - 1. (3) Un examen cuidadoso de las igualdades (1), (2) y (3) conduce a la hipótesis de que cualquier número impar puede obtenerse multiplicando su índice por 2 y restando 1; es decir, que para cualquier número impar un , un = 2n -1.(4) Probaremos que la fórmula (4) es válida generalmente. Condición 1. La igualdad (1) muestra que la fórmula se cumple para n = 1. Condición 2. Supóngase que la fórmula (4) se cumple para n = k; es decir, que el késimo número impar está dado por uk = 2k -1. Demostraremos que, con esta suposición, la fórmula (4) también se cumple para el (k+1)-ésimo número impar, es decir, que el (k+1)-ésimo númeroimpar debe estar dado por uk +1 = 2(k+1) -1 ó en forma equivalente, uk +1 = 2k + 1. Para obtener el (k+1)-ésimo número impar, sólo tiene que sumarse 2 al k-ésimo número impar; así, uk +1 = uk + 2. Por hipótesis, uk = 2 * k – 1. En consecuencia, uk +1 = (2k – 1) + 2 = 2k + 1. Resultado. un = 2n -1.

PROBLEMA 2.
Calcular la suma de los primeros n número impares. SOLUCIÓN. Denotemos la sumarequerida por Sn . Así, Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1). Los problemas de este tipo se pueden resolver usando una fórmula probada. Pero nos interesa resolver el problema sin recurrir a tal fórmula y aplicando el método de

inducción matemática. Para hacerlo, es necesario establecer primero una hipótesis, es decir, tratar simplemente de adivinar la solución. Asignaremos a n los valores sucesivos 1, 2,3, … hasta contar con información suficiente para formular una hipótesis plausible. A continuación, debe probarse esta hipótesis con el método de la inducción matemática. Se encuentra que S1 = 1, S2 = 4, S3 = 9, S4 = 16, S5 = 25, S6 = 36. Ahora todo depende del poder de observación del estudiante –de su habilidad para conjeturar una relación general a partir de los resultados particulares. En loscasos anteriores, se nota inmediatamente que S1 = 12 , S2 = 2 2 , S3 = 32 , S4 = 4 2 . Entonces es justo suponer que, en ge neral, Sn = n 2 . Condición 1. Para n = 1 la suma consiste de un solo término, a saber, el número 1. Para n = 1, el valor de la expresión n 2 es también 1. De aquí que la hipótesis se cumple para n = 1. Condición 2. Supóngase que la hipótesis se cumple para n = k o sea que Sk= k 2 . Probemos que, con esta suposición, la hipótesis también debe cumplirse para n = k+1, es decir, que Sk +1 = ( k + 1) 2 . En efecto, si en el problema 1, uk +1 = 2k + 1, entonces: Sk +1 = Sk + (2k+1). Pero Sk = k 2 + (2k+1) = ( k + 1) 2 Resultado. Sn = n 2 .

PROBLEMA 3.
Hallar el término general de la sucesión de números un si u1 = 1 y, si para todo número natural k > 1, se cumple larelación uk = uk −1 + 3. SOLUCIÓN. El primer número u1 puede escribirse en la forma u1 = 3 * 1 – 2; (1) El segundo número impar u2 puede escribirse de la forma u2 = 3 * 2 – 2; (2) Un examen cuidadoso de las igualdades (1) y (2) conduce a la hipótesis de que cualquier número un puede obtenerse multiplicando su índice por 3 y restando 2; es decir, que para cualquier número impar un , un = 3n - 2. (3)Probaremos que la fórmula (3) es válida generalmente. Condición 1. La igualdad (1) muestra que la fórmula se cumple para n = 1. Condición 2. Supóngase que la fórmula (3) se cumple para n = k; es decir, que el késimo número impar está dado por uk = 3k -2.

Demostraremos que, con esta suposición, la fórmula (3) también se cumple para el (k+1)-ésimo número, es decir: uk +1 = 3(k+1) -2 ó en forma...