Problemas Resueltos De Integracion Doble

CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES

Definición 1.
Consideremos la función f:D⊂R2→R, continua sobre la región cerrada D. El volumen del solido S bajo la superficie z=f(x,y), que tiene como base la región D es dado por la expresión:
VS=Df(x,y) dA
Definición 2.
Consideremos la función f:D⊂R2→R, continua en la región cerrada D, tal que: fx,y=1, ∀x,yϵD, entonces el área plana Des dado por:
AD=Dfx,ydA=DdA

1. Hallar el Área de la región acotada por las líneas: y=x2+2 ;y=x+4
Resolución:
Igualando los valores de y:
x2+2=x+4
x2-x-2=0
x-2(x+1)=0
x=2 v x=-1

Luego:
A=-12x2+2x+4 dydx
A=-12(y)x2+2x+4dx
A=-12(x+4-x2-2 )dx
A=--12(x2-x-2 )dx
A=-(x33-x22-2x)-12
A=-(83-2-4--13-12+2)
A=-(-103-76)
A=--276
A=92u2

2. Calcular el Área de la regiónlimitada por las líneas: x=y2-2y ; x+y=0
Resolución
Igualando las ecuaciones:
y2-2y=-y
y2-y=0
yy-1=0
y=0 v y=1
Luego:
A=01-yy2-2ydxdy
A=01(x)-yy2-2ydy
A=01(y2-2y+y )dy
A=-01(y2-y )dy
A=(y33-y22)01
A=13-12
A=16u2

3. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies z=x2+y2 y=x2;y=1;z=0
Resolución:
Igualando los y:x2=1
x=±1

Luego:
V=-11x21zdxdy
V=-11x21x2+y2dydx
V=-11(yx2+y33)x21dx
V=-11x2+13-x4-x63dx
V=(x33+x3-x55-x621)-11
V=13+13-15-121-(-13-13+15+121)
V=23-15-121-(-23-15+121)
V=70-21-5105-(-70+21+5105)
V=44105--44105=88105u3
4. Encontrar el volumen de la región acotada por los tres planos coordenados y el plano x+2y+3z=6
Resolución

D=(x,y)∈R2/ 0≤x≤6; 0≤y≤6-x2
Usandointegrales dobles y proyectando la región sobre el plano XY tenemos:

V=0606-x26-x-23dydx
V=13066-xy-y206-x2
V=1306(6-x)22-(6-x)24dx
V=11206(6-x)2dx
V=(136(6-x)3)06
V=6u3

5. Calcular el área usando integrales dobles. Rxy+2x2dA siendo R: y=x ; y=-x; x=0; x=4
Resolución:

A(R)=Rxy+2x2dxdy
A=04-xxxy+2x2dydx
A=04xy2+2x2y x-x dx
A=0432x3+x22+2x52 dx
A=96+8+2452
∴AR=179.81 u26. Calcular el área utilizando integral doble Dx2ydA donde D esta limitado por y=2x+1; y=x2+1

Resolución:

AR=Dx2ydA=02x2+12x+1x2ydxdy
A=02x2+12x+1x2ydydx
A=02x2y22 2x+1x2+1 dx
A=02x222x+12-x2+12dx
A=022x3+x4-x62dx
∴ AR=18435 u2

7. Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide z=x2+y2, los planos coordenados y el plano x+y=1
Resolución:V=Dzdxdy=Dx2+y2dxdy
V=0101-xx2+y2dxdy
V=0101-xx2+y2dydx
V=01x2y+y33 1-x0dx
V=01-4x3+6x2-3x+13dx
∴V=16 u3

8. Hallar el volumen limitado por las superficies y2=x; z+x=1; z=0

Resolución:

V=Dzdxdy=D1-xdxdy
V=01-xx1-xdydx
V=011-xy x-x dx
V=2011-xxdx
V=01x12-x32dx
V=223x32-25x52 10
V=223-25-0
∴ V=815 u3

9. Hallar el área por integración doble de la región limitada porlas parábolas y=x, y=2x y la recta x=4

Resolución:






AR=Rdxdy

AR=04x2xdydx

AR=04y 2xx dx

AR=042x-xdx

AR=04xdx

AR=23x32 40
∴AR=163 u2




10. Hallar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados y los planos xa+yb+zc=1

Resolución:

V=Dzdxdy
V=Dc1-xa-ybdxdyV=0a0b1-xac1-xa-ybdydx
V=0acy-xya-y22b b1-xa0 dx
V=c0ab1-xa1-xa-121-xadx
V=bc20a1-xa2dx
V=bc2-a31-xa a0
V=-abc60-1
∴ V= abc6 u3
11. Hallar el área por integración doble. Siendo R la región limitada por las curvas y=32x, y=12x2 y las rectas x=12 y x=2
Resolución:

A=Rdydx
A=12212x32xdydx
A=12232x-12x2dx
A=32122xdx-12122x2dxA=32x22122-12x33122
A=321222-12122-121323-13123
A=32124-1214-12138-1318
∴A=32 u2

12. Calcular el volumen de un sólido que esta limitado por la superficie z=x2-y2 , el plano xy y los planos x=1 y x=3
Resolución:

V=R(x2-y2)dxdy
V=13-xxx2-y2dydx
V= 13(x2y-y33 x-x ) dx
V=13x2.x-x33-x2.-x--x33dx
V=132x33+2x33dx
V=134x33dx
V=4313x3dx
V=43...