Problemas Resueltos de limites

Universidad de Sonora
División de Ciencias Exactas y
Naturales
Departamento de Matemáticas.

Límites y Continuidad
Problemas Resueltos

Dr. José Luis Díaz Gómez

Versión 1.
Abril de 2005

1

Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. 3K. Módulo 7, Cubículo 1.

Universidad de Sonora.................................................................... 1
Dr. José Luis Díaz Gómez.............................................................. 1
Problemas Resueltos de Límites y Continuidad. ............................ 3
I.

Noción Intuitiva de límite. ..................................................................................... 3

II.

Solución de Limites utilizando la Definición Precisa de Límite. ........................... 8
1. Definición formal de límite:................................................................................... 8

III.

Cálculo de Límites. ........................................................................................... 10

a) Con Tablas y Gráficas. ......................................................................................... 10
b) Aplicando los Teoremas de Límites. ....................................................................12
c) Por Sustitución Directa. ........................................................................................ 14
d) La indeterminación
IV.
V.

0
.......................................................................................... 15
0

Límites Laterales............................................................................................... 21
Límites que Involucran el Infinito........................................................................ 25

(a) Indeterminaciones:

∞
y ∞ - ∞ ....................................................................... 30
∞

b) Indeterminación ∞ - ∞.......................................................................................... 32
VI.

Asíntotas........................................................................................................... 33

1. Asíntotas verticales. .............................................................................................. 33
2. Asíntotas Horizontales.......................................................................................... 33

2

VII.Continuidad....................................................................................................... 37

VIII.

TAREA DE LÍMITES y CONTINUIDAD ...................................................... 42

IX.

Bibliografía. ...................................................................................................... 51

Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. 3K. Módulo 7, Cubículo 1.

Problemas Resueltos de Límites y Continuidad.
I. Noción Intuitiva de límite.
Problema 1. Un
aterrizaje
de
unavión
proporciona una visión intuitiva del concepto de
límite de una función. El avión sobrevuela a lo largo
de la pista (variable x), mientras que su altura
(variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La
pista es en este caso asíntota horizontal de la
trayectoria del avión. En este caso el límite de la
altura y, cuando la distancia x crece es cero.
Problema 2. Considere un resorte colgado poruno
de sus extremos en una barra y con un peso p en el
otro extremo. Se sabe que el resorte se rompe si el
peso p es igual o mayor que 5 kilos.
Supongamos que deseamos determinar la longitud
máxima l que se estira el resorte sin romperse.
Para resolver esta cuestión realizaremos el experimento de cambiar el peso p colocado en el extremo
libre del resorte de manera creciente y medir la
longitud l quese estira con cada peso, como se
observa en la figura.
Cuando el peso colocado en el resorte se acerca a los 5 kilos, tendremos que colocar
pesos cada vez más pequeños para no llegar al máximo de los 5 kilos y que no se rompa
el resorte. Registrando las longitudes sucesivas del resorte, debemos de poder determinar
la longitud máxima L a la cual se aproxima l cuando el peso p se aproxima a su...