problemas resueltos distribucion biniomial
Páginas: 29 (7030 palabras)
Publicado: 20 de junio de 2015
Problemas resueltos
La distribución binomial
7.1
Evalúe
«
*oj
á
* c
SOLUCIÓN
a)
5! = 5 - 4 - 3 • 2- 1 = 120
L\
6! 2 6 - 5 - 4 . 3 - 2 - 1
2! 4!
(2 -1)(4 - 3 - 2 - 1 )
'
/8\
f )
8!
=
8!
6-5_
2-1
87-6-5-4-3-2-1
_ 8 •7 •6
\3J ~ 3 ! ( # - 3 ) ! ~ 3Í5! ~ ( 3 - 2 - 1)(5 - 4 • 3 • 2 • 1) ~ 3 - 2 1 ~
^ ^7 ~ 5!2! ~ ( 5 - 4 • 3 - 2 • 1)(2- 1) " 2 • í ~
/7\ _
e)
/4\
(^ )
4\
0/
7.2
7!4!
4fQi
=
_
7-6 - 5 - 4 - 3 - 2- 1
=
'
_7-6_
ya que, por definición, 0! = 1
4!
0!4!
Suponga que 15% de la población es zurda. Determine la probabilidad de que en
un grupo de 50 individuos haya a) a l o sumo 10 zurdos, b) al menos 5 zurdos, o
entre 3 y 6 zurdos inclusive y d) exactamente 5 zurdos. Utilice Minitab para resolverlo.
SOLUCIÓN
a)
El resultado de Minitab se muestra acontinuación: El comando c d f 10,- coo d
subcomando binomial n = 5 0 y p = .15 da la probabilidad requerida. La probabilidad de que a lo sumo sean 10 zurdos en un grupo de 50 es 0.8801
MTB > c d f 10 ;
SUBC> b i n o m i a l n = 50 p = . 15 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n = 50 a n d p = 0 . 1 5 0 0 0 0
x
10.0
P ( X «= x )
0.8801
162
:
Z- ~-.Z
~
•
^as distribuciones
b)binomial,
normal y de Poisson
A continuación se muestra el resultado de Minitab. El complemento del evento al
menos 5 zurdos es el evento a lo sumo 4 zurdos. Usando el hecho de que P (evento |
= 1 - P (complemento del evento), se tiene P(X > 5) = 1 - P(X < 4) = 1 - 0.1121 =
0.8879.
MTB > C d f 4 ;
SUBC> b i n o m i a l n = 50 p = . 15 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n= 5 0 a n d p = 0. 1 5 0 0 0 0
x
P ( X <= x )
4.00
c)
0.1121
A continuación se muestra el resultado de Minitab. P(3 < X < 6) = P(X < 6) - P(X <
2) = 0.3613-0.0142 = 0.3471.
MTB > c d f 6;
SUBC> b i n o m i a l n = 5 0 p = . 1 5 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n = 5 0 a n d p - 0. 1 5 0 0 0 0
x
P( X * x )
6.00
0.3613
MTB > c d f 2 ;
S U B O b i n o m i a l n =50 p = . 15 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n = 50 a n d p = 0 . 1 5 0 0 0 0
x
2.00
d)
P ( X <= x )
0.0142
A continuación se muestra el resultado de Minitab. De éste, se puede ver que P(X =
5) = 0.1072.
MTB > p d f 5 ;
SUBC> b i n o m i a l n = 5 0 p = . 15 .
Probability Density Function
B i n o m i a l w i t h n = 50 a n d p = 0. 1 5 0 0 0 0
7.3
x
P(X<=x)
5.000.1072
Calcule la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado, se obtenga un 3: a)
ninguna vez, b) una vez, c) dos veces, d) tres veces, e) cuatro veces y / ) cinco veces.
SOLUCIÓN
La probabilidad de obtener 3 en un lanzamiento =p = è, y la probabilidad de obtener ningún 3 en un lanzamiento = q = 1 - p = 1 ; por lo tanto,
a)
Pr{3 ocurre 0 veces} =
b)
Pr{3 ocurre una vez} =
c)
Pr{3ocurre dos veces}
625
3 888
Problemas
d)
Pr[3 ocurre tres veces} =
e)
Pr{3 ocurre cuatro veces} = ^j^J
/)
Pr{3 ocurre cinco veces} = í^\t
resueltos
•
3 888
3Íi
=
\ f 7I
0)
=
25
(5)¡
296
7 776
1
1
7 776
D =
7 776
Nótese que estas probabilidades representan los términos de la expansión binomial
v6
7.4
+
6,
ai
5_V
6
6
I
-
+
4
-
+ -
=i
6
Escriba la e x p a n s i ó nbinomial de a) (q + p) y b) (q + p) .
SOLUCIÓN
.2 „2
3
a)
qp +
A
3
2
2
4
= q + 4q p + 6q p
b)
(q + pf
+ 4qp* + p
5
q p-
6
= q +
3
q" + 6q'p + 15q V
2
+ 20q p
2
4
+ 15q p
s
6
+ 6qp + p
Los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 y 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 se denominan coeficientes
binomiales, correspondientes aA/ = 4 y A / = 6 , respectivamente. A l escribir estos coeficientes para N = 0,1,2,3,..., como se muestra en el siguiente orden numérico, se obtiene
un arreglo llamado triángulo de Pascal. Nótese que el primero y último números de cada
renglón son 1 y que se puede obtener cualquier otro número al sumar los dos números
ubicados a su derecha e izquierda, en el renglón anterior.
1
1
1
1
7.5
10
5
6
15
20
1
15
Calcule la probabilidad de que en una familia con cuatro...
La distribución binomial
7.1
Evalúe
«
*oj
á
* c
SOLUCIÓN
a)
5! = 5 - 4 - 3 • 2- 1 = 120
L\
6! 2 6 - 5 - 4 . 3 - 2 - 1
2! 4!
(2 -1)(4 - 3 - 2 - 1 )
'
/8\
f )
8!
=
8!
6-5_
2-1
87-6-5-4-3-2-1
_ 8 •7 •6
\3J ~ 3 ! ( # - 3 ) ! ~ 3Í5! ~ ( 3 - 2 - 1)(5 - 4 • 3 • 2 • 1) ~ 3 - 2 1 ~
^ ^7 ~ 5!2! ~ ( 5 - 4 • 3 - 2 • 1)(2- 1) " 2 • í ~
/7\ _
e)
/4\
(^ )
4\
0/
7.2
7!4!
4fQi
=
_
7-6 - 5 - 4 - 3 - 2- 1
=
'
_7-6_
ya que, por definición, 0! = 1
4!
0!4!
Suponga que 15% de la población es zurda. Determine la probabilidad de que en
un grupo de 50 individuos haya a) a l o sumo 10 zurdos, b) al menos 5 zurdos, o
entre 3 y 6 zurdos inclusive y d) exactamente 5 zurdos. Utilice Minitab para resolverlo.
SOLUCIÓN
a)
El resultado de Minitab se muestra acontinuación: El comando c d f 10,- coo d
subcomando binomial n = 5 0 y p = .15 da la probabilidad requerida. La probabilidad de que a lo sumo sean 10 zurdos en un grupo de 50 es 0.8801
MTB > c d f 10 ;
SUBC> b i n o m i a l n = 50 p = . 15 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n = 50 a n d p = 0 . 1 5 0 0 0 0
x
10.0
P ( X «= x )
0.8801
162
:
Z- ~-.Z
~
•
^as distribuciones
b)binomial,
normal y de Poisson
A continuación se muestra el resultado de Minitab. El complemento del evento al
menos 5 zurdos es el evento a lo sumo 4 zurdos. Usando el hecho de que P (evento |
= 1 - P (complemento del evento), se tiene P(X > 5) = 1 - P(X < 4) = 1 - 0.1121 =
0.8879.
MTB > C d f 4 ;
SUBC> b i n o m i a l n = 50 p = . 15 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n= 5 0 a n d p = 0. 1 5 0 0 0 0
x
P ( X <= x )
4.00
c)
0.1121
A continuación se muestra el resultado de Minitab. P(3 < X < 6) = P(X < 6) - P(X <
2) = 0.3613-0.0142 = 0.3471.
MTB > c d f 6;
SUBC> b i n o m i a l n = 5 0 p = . 1 5 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n = 5 0 a n d p - 0. 1 5 0 0 0 0
x
P( X * x )
6.00
0.3613
MTB > c d f 2 ;
S U B O b i n o m i a l n =50 p = . 15 .
Cumulative Distribution Function
B i n o m i a l w i t h n = 50 a n d p = 0 . 1 5 0 0 0 0
x
2.00
d)
P ( X <= x )
0.0142
A continuación se muestra el resultado de Minitab. De éste, se puede ver que P(X =
5) = 0.1072.
MTB > p d f 5 ;
SUBC> b i n o m i a l n = 5 0 p = . 15 .
Probability Density Function
B i n o m i a l w i t h n = 50 a n d p = 0. 1 5 0 0 0 0
7.3
x
P(X<=x)
5.000.1072
Calcule la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado, se obtenga un 3: a)
ninguna vez, b) una vez, c) dos veces, d) tres veces, e) cuatro veces y / ) cinco veces.
SOLUCIÓN
La probabilidad de obtener 3 en un lanzamiento =p = è, y la probabilidad de obtener ningún 3 en un lanzamiento = q = 1 - p = 1 ; por lo tanto,
a)
Pr{3 ocurre 0 veces} =
b)
Pr{3 ocurre una vez} =
c)
Pr{3ocurre dos veces}
625
3 888
Problemas
d)
Pr[3 ocurre tres veces} =
e)
Pr{3 ocurre cuatro veces} = ^j^J
/)
Pr{3 ocurre cinco veces} = í^\t
resueltos
•
3 888
3Íi
=
\ f 7I
0)
=
25
(5)¡
296
7 776
1
1
7 776
D =
7 776
Nótese que estas probabilidades representan los términos de la expansión binomial
v6
7.4
+
6,
ai
5_V
6
6
I
-
+
4
-
+ -
=i
6
Escriba la e x p a n s i ó nbinomial de a) (q + p) y b) (q + p) .
SOLUCIÓN
.2 „2
3
a)
qp +
A
3
2
2
4
= q + 4q p + 6q p
b)
(q + pf
+ 4qp* + p
5
q p-
6
= q +
3
q" + 6q'p + 15q V
2
+ 20q p
2
4
+ 15q p
s
6
+ 6qp + p
Los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 y 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 se denominan coeficientes
binomiales, correspondientes aA/ = 4 y A / = 6 , respectivamente. A l escribir estos coeficientes para N = 0,1,2,3,..., como se muestra en el siguiente orden numérico, se obtiene
un arreglo llamado triángulo de Pascal. Nótese que el primero y último números de cada
renglón son 1 y que se puede obtener cualquier otro número al sumar los dos números
ubicados a su derecha e izquierda, en el renglón anterior.
1
1
1
1
7.5
10
5
6
15
20
1
15
Calcule la probabilidad de que en una familia con cuatro...
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