Problemas Resueltos Series

..
..
..
´ NEZ
˜
.UNIVERSIDAD ADOLFO IBA
´ ticas y Estad´ıstica
.Departamento de Matema
..................................................................................

´ n de Pruebas y Controles de an
˜ os anteriores
Recopilacio
1. Calcule las siguiente series
∞

a)

1 + 3k
(3p)
4k
n=1

∞

∞

∞

1
1 + 3k
1 k
3 k
4
=
(
)
+
)
=
(
k
4
4
4
1
−
n=1
n=1
n=1

1
4

+

3
4

1−

3
4

=

10
3

∞

b)

2k+ 3 k
6k
n=1
∞

c)

ln (1 + k1 )k (1 + k)
ln k k [ln(k + 1)k+1 ]
n=1

Series Positivas
Resumen de criterios
n

a) Una condici´
on necesaria (pero no suficiente) para que la serie

an converja es que
i=0

l´ım an = 0

n→∞
n

n

b) Criterio de comparaci´
on Sean

an series no negativas y n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 se

an y
i=0

i=0

tiene bn ≥ an ≥ 0, entonces
n

1) si

n

bn converge, entonces
i=0
n2) si

an converge
i=0
n

an diverge, entonces
i=0

bn diverge
i=0
n

i=0

Supongamos que existe

n

an y

c) Criterio de comparaci´
on por paso al l´ımite Sean

an series de t´erminos no negativos.
i=0

an
=M
n→∞ bn
l´ım

n

n

1) Si M = 0 y

bn converge, entonces
i=0
n

2) Si M = +∞ y

an tambien converge.
i=0
n

bn diverge, entonces
i=0

an tambien diverge.
i=0

n

3) Si M es constante las dosseries

n

an y
i=0

bn tienen el mismo caracter; o las dos son converi=0

gentes, o las dos son divergentes.
Calculo Integral
Profesor C´
atedra: Eduardo Olave

´ g. 1
Pa

d ) Criterio de la integral Sea f : [a, +∞) −→ [0, +∞) no creciente, Entonces
n

∞

1) La integral impropia

f (x)dx, con a > 0, es convergente si, y solo si, la serie
a

f (n) converge.
i=0

e) La serie
∞

i=1

ConvergeDiverge

1
np

si p > 1,
si p ≤ 1;

n

f ) Criterio de Cauchy o de la ra´ız Sea

an una serie de terminos no negativos tal que existe
i=0

R = l´ım

n

n→∞

|an |

n

1) Si R < 1, la serie

an converge absolutamente.
i=0
n

2) Si R > 1, entonces la serie P

an es divergente.
i=0

3) Si R = 1, entonces no se puede decir nada
n

g) Criterio de la raz´
on Sea

an una serie de t´erminos no negativos talque existe
i=0

R = l´ım

n→∞

an+1
an

n

1) Si R < 1, la serie

an converge absolutamente.
i=0
n

2) Si R > 1, entonces la serie P

an es divergente.
i=0

3) Si R = 1, entonces no se puede decir nada
2. Decida si las siguientes serie convergen o divergen
∞

a)

n
(n
+
1)en
n=1
∞

b)

nn
(2n)!
n=1
∞

ne−n

c)

2

n=1
∞

d)

earctan n
n2 + 1
n=1
∞

e)

sen2 (n)
n2
n=1
∞

f)

7n + 2
2+4
14n
n=1Soluci´
on
7n + 2
2
7
1
l´ım 14n + 4 =
= .Como
1
n→∞
14
2
n2

Calculo Integral
Profesor C´
atedra: Eduardo Olave

1
1
converge y ∈ [0, ∞) , luego
2
n
2

an converge

´ g. 2
Pa

∞

g)

1
5n + 1
n=1
Soluci´
on
1
1
l´ım 5n + 1 = . Como
1
n→∞
5
n

1
1
diverge y ∈ (0, ∞], luego
n
5

an diverge

.
∞

h)

1

(9n + 1)(4n2 + 1)
Soluci´
on
n=1

1
l´ım

n→∞

(9n + 1)(4n2 + 1)
1
1
=
= . Como
1
3·2
6
n3/2

i)

anconverge

nπ
4

n sen2

∞

1
1
converge y ∈ [0, ∞) entonces
6
n3/2

3n

n=1

Soluci´
on

∞

nπ
4

n sen2

∞

≤

3n

n=1

n
converge. Ya que, por Crit. de la raiz l´ım
n→∞
3n
n=1

n

n
1
= < 1. converge
n
3
3

∞

j)

nn
2n (n + 1)n+1
n=1
l´ım

n

n→∞

n
1
nn
1
√
l´ım
= < 1, converge
2n (n + 1)n+1 n→∞ 2(n + 1) n n + 1
2

∞

k)

earctan n
n2 + 1
n=1
f (x) =

1
2
arctan x
earctan x 1+x
2x
earctan x
1− 2x
1
2 (1 + x ) − e
→
f
(x)
=
= earctan x 2
< 0, ∀x >
x2 + 1
(x2 + 1)2
(x + 1)2
2
∞

earctan n
⇔
n2 + 1
n=1
√
n + n3
l)
2
n=1 4n + 1

∞
1

earctan x
dx =
x2 + 1

π/2

ex dx < ∞ luego la serie converge
π/4

∞

Soluci´
on Como

√
n+ n3
4n2 +1

√
≈

n3
1
= 1 cuando (n → ∞)
2
n
n2

√
n + n3
∞
3
1
1
1
l´ım 4n + 1 = . Como
∈ (0, ∞]. entonces
1 diverge y
1
n→∞
4
4
2
n=1 n
1
n2

Calculo Integral
ProfesorC´
atedra: Eduardo Olave

an diverge

´ g. 3
Pa

∞

m)

n+1
n
n=1 5
Soluci´
on Por criterio de la ra´ız, se tiene
l´ım

n→∞
∞

n)
n=1

2n (n

n

n+1
1
= < 1 (converge)
n
5
5

nn
+ 1)n+1

Soluci´
on
l´ım

n→∞

n

n
nn
1
1
√
l´ım
= < 1, converge
n
n
n+1
n→∞ 2(n + 1)
2 (n + 1)
2
n+1

∞

n
˜)

earctan n
n2 + 1
n=1
Soluci´
on Sea f (x) =

earctan x
x2 + 1

earctan x
es continua y positiva para...