problemas resueltos sobre ecuaciones lineales

UNIDAD

a) a x – y =
1 ° a –1
1
8
¢
x – a y = 2a – 1 £ 1 –a 2a – 1

(

)

(1.ª)
(2.ª) · a – (1.ª)

(a
0

–1
1
1 – a2 2a2 – a – 1

1

)

a?0
• Si a ? 1, queda:

(1
0

–1
0

1
0

) Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.

• Si a = –1, queda:

( –1
0

–1
0

1
2

)

Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.

• Si a ?1 y a ? –1 8 Sistema compatible determinado. Son dos rectas secantes.
b) x – y
= 1 ° 1 –1 0
§
2x + 3y – 5z = –16 ¢ 2 3 –5
§
x + a y – z = 0 £ 1 a –1

(

8

(1.ª)
(2.ª)
5 · (3.ª) – (2.a)

(

)

1
–16 8
0

1 –1 0
0 5 –5
0 5a 0

1
–18
13

(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.a)

(

1 –1
0
05
–5
0 a + 1 –1

)

1
–18 8
–1

)

• Si a ? 0 8 Sistemacompatible determinado. Son tres planos que se cortan
en un punto.
• Si a = 0 8 Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero no
hay ningún punto común a los tres.
23 A, B y C son tres amigos. A le dice a B: si te doy la tercera parte de mi dinero, los tres tendremos la misma cantidad.
Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres tienen 60 €.
Llamamos:

x dinero que tiene A
ydinero que tiene B
z dinero que tiene C

Con los datos planteamos el siguiente sistema:
x
2x
y+—=—
3
3
2x
—=z
3
x + y + z = 60

°
x
§ y–—=0
§
3
§
¢2
§ —x – z = 0
§3
§
£ x + y + z = 60

°
§
§
§
¢
§
§
§
£

–x + 3y
= 0°
§
2x
– 3z = 0 ¢
§
x + y + z = 60 £

Solución: x = 30, y = 10, z = 20
A tiene 30 €, B, 10 €, y C, 20 €.
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones.Método de Gauss

31

s24 Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, de 9,80 €/kg; el B, de
8,75 €/kg, y el C, de 9,50 €/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de
10,5 kg a 9,40 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada tipo debe mezclar si tiene que
poner del tipo C el doble de lo que ponga del A y del B?
Llamamos x a la cantidad de A, y a la de B y z a la de C.
Planteamos el sistema:x + y + z = 10,5
z = 2(x + y )
9,8x + 8,75y + 9,5z = 10,5 · 9,4 = 98,7

°
§
¢
§
£

Solución: x = 1,5; y = 2; z = 7
Debe mezclar 1,5 kg de A, 2 kg de B y 7 kg de C.
s25 Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que si al número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética delas otras
dos.
☛ Si x es la cifra de las unidades; y, la de las decenas, y z, la de las centenas, el número será x + 10y + 100z.
Llamamos x a la cifra de las unidades, y a la de las decenas y z a la cifra de las
centenas.
z y x 8 n.° = x + 10y + 100z
Tenemos que:
x+y+z=9
x + 10y + 100z – (z + 10y + 100x) = 198
x+z
y = ——
2

°
x+y+z=9
°
§
§
§
¢ –99x + 99z = 198 ¢
§
§
2y = x + z£
§
£

x + y + z = 9°
§
–x
+ z = 2¢
§
x – 2y + z = 0 £

(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)

(

–1 0 1 2
0 1 2 11
0 –2 2 2

–x

)

(
8

111
–1 0 1
1 –2 1

9
2
0

)

(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) : 2

(

–1 0 1
012
0 –1 1

8

(
2
11
1

)

–1 0 1
111
1 –2 1

8

2
9
0

(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)

)

8

(

(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)

–1 0 1012
003

2
11
12

)

+ z= 2° z=4
°
§
§
y + 2z = 11 ¢ y = 11 – 2z = 11 – 8 = 3 ¢
§
§
3z = 12 £ x = z – 2 = 2
£

Solución: El número es el 432.

32

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

UNIDAD

1

P ágina 46
s26 Dos amigos invierten 20 000 € cada uno. El primero coloca una cantidad A
al 4% de interés; una cantidad B, al 5%, y el resto, al 6%. El otroinvierte la
misma cantidad A al 5%; la B, al 6%, y el resto, al 4%.
Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 1 050 €, y el segundo, de 950 €.
A+
B+
C = 20 000 ° A + B + C = 20 000 °
§
§
0,04A + 0,05B + 0,06C = 1 050 ¢ 4A + 5B + 6C = 105 000 ¢
§
§
0,05A + 0,06B + 0,04C =
950 £ 5A + 6B + 4C = 95 000 £

(
(

)
)

111
456
564

20 000...