Problemas Resueltos Teoria De De Broglie Y Principio De Incertidumbre De Heisenberg

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PROBLEMAS RESUELTOS TEORIA DE DE BROGLIE Y PRINCIPIO DE
INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG

1)- Sobre la superficie de Cesio inciden rayos ultravioletas de 75 nm
(nanometro). ¿Qué longitud de onda asociada tendrán los fotoelectrones de
máxima velocidad? El trabajo de extracción del cesio vale 1,97 eV.
En este problema se tienen electrones emitidos por efecto fotoeléctrico y se pide
c alcularla longitud de onda asociada a los electrones de máxima velocidad.
La teoría de de Broglie permitirá calcular la longitud de onda asociada, haciendo

=

, por lo que es necesario calcular la cantidad de movimiento de los

electrones. Para ello se usan las ecuaciones del efecto fotoeléctrico.
Así pues, la energía cinética de los electrones de máxima velocidad expresada en
términos delimpulso de los mismos es:

=

=

=ℎ. −

(1)

Calculamos primero el trabajo de extracción en Joule para compatibilizar las
unidades en la ecuación de arriba:

= 1,97

= 1,97 .1,602 . 10

≅ 3,156 . 10

Despejando p de la expresión (1) se tiene

=2.

(ℎ . −

)

Reemplazando por los valores es:

= 2 .9,109. 10

. [ 6,626. 10

.

≅ 4,253. 10
Resulta para p el valor de2,062 . 10-24 kg m/s
Finalmente la longitud de onda asociada es:

.
.

− 3,156. 10

]

2

=

=

,
,

.
.

.

≅ 3,213. 10

= 3,213 Å

En conclusión los electrones de máxima velocidad tienen asociada una longitud de
onda de 3,213 Å; este valor de longitud de onda corresponde a los rayos X en el
espectro electromagnético.

2) Un flujo paralelo de electronesmonoenergéticos incide normalmente sobre
un diafragma que tiene una rendija rectangular estrecha de una micra de
ancho. Determinar la velocidad de estos electrones si en la pantalla, distante
50 cm de la rendija, el ancho del máximo central de difracción es 0,36 mm.

En esta situación se tiene un haz de electrones que incide sobre una rendija
estrecha, tal como si se tuviera un haz de luz monocromáticaincidiendo sobre la
rendija. En el caso de la luz esta situación provoca la difracción de la onda,
observándose en la pantalla una distribución de zonas brillantes y oscuras conocida
c omo figura de difracción de Franhoufer provocada por una rendija estrecha.
Según la teoría ondulatoria de la materia de de Broglie las partículas microscópicas ,
en el caso de los electrones, tienen propiedadesondulatorias. En este caso los
electrones atravesarán la rendija, de tal manera que al impactar sobre la pantalla, se
tendrá una distribución de los mismos, tal como la de difracción, por ello es que se
dice que el fenómeno es el de la difracción de electrones por una ranura. La gráfica
da la función distribución del número de partículas que impactan en un determinado
punto, así como para laluz se tenía la función de distribución de intensidad de luz
para cada punto de la pantalla. (ver figura)

El valor medido sobre la pantalla del semiancho del máximo central da la posición
del primer mínimo respecto del centro del máximo central en la figura de difracción.
El ángulo θ c orresponde al s emiancho del máximo central y la distancia lineal sobre
la pantalla es ”y” .

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Elmínimo se da porque la diferencia de camino óptico entre las distancias recorridas
por los electrones que atraviesan la rendija por el extremo superior y los que lo
hacen por el centro es igual a media longitud de onda (de la onda asociada a las
partículas). Las ondas originadas en la parte superior de la rendija están en
oposición de fase con las que se originan en el centro de la rendija,provocando
mínimo de interferencia.
Entonces, si ampliamos el esquema y usamos los conceptos básicos de óptica sobre
interferencia de ondas podremos escribir:

∆Co = (b/2) sen θ = m (λ /2)
b sen θ = m λ
que es la ecuación que da la posición de los mínimos de difracción por una rendija
estrecha. Para el primer mínimo será m = 1.
Como los ángulos son pequeños puede hacerse la aproximación...