Problemas resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS:

1) Una barra delgada de longitud L y carga uniforme por unidad de longitud, λ, está a lo largo del eje x como se muestra en la figura 25. a)Demuestre que el campo eléctrico en P, a una distancia “y” de la barra, a lo largo del bisector perpendicular no tiene componente x y esta dado por:
E=2λkesin(θ0)yjFig. 25

El campo eléctrico en el punto P posee solo componente en “y” debido a que la componente en x generada por cualquier elemento diferencial, dx, es canceladapor la otra componente creada por otro elemento diferencial del otro lado de la barra, tal como se muestra en la figura 26.

Fig. 26
Entonces, el campo resultantesolamente tiene contribución vertical, es decir,

dEy=dEcosθ=kedqr2cosθ

dEy=keλcosθdxr2

Se escriben todas las variables en términos de θ

C.OC.A=tanθ=xy

x=ytanθ⟹ dx=ysec2θdθ

cosθ=yr ⇒ r=ysecθ

dEy=keyλcosθsec2θdθy2sec2θ

dEy=keλcosθdθy

Ey=20θ0keλcosθdθy=2λkeysinθ0θ0

El término 2 se debe a la simetríadel problema, es decir, podemos integrar en la mitad de la varilla y sumar la contribución de la otra mitad. También es válido, en este caso, integrar desde -θ0 hasta+θ0. Finalmente, se obtiene la magnitud del campo eléctrico,
Ey=2λKe ysinθ0

Vectorialmente, vemos en la figura 26 que el campo resultante tiene dirección positiva deleje de las y, por lo tanto,

Ey=2λKe ysinθ0j

b) Utilizando su resultado del inciso muestre que el campo de una barra de longitud infinita es E=2λKe y
E=2λKeysinθ0

Cuando la barra posee longitud infinita, θ0 tiende a π2, entonces, en el límite:

limθ0→π22λKe ysinθ0=2λKe y

Con lo cual se demuestra,
E=2λKe y