Problemas resueltos

9.10 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 9 |

1. Use la definición de la derivada de una función, para calcular y’ o f ’(x) si  y evaluarla en .  |
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Solución |
De acuerdo a la definición 9.2., se tiene:  (indeterminado de la forma ) 

En particular, 

Obsérvese que y’ no existe en  y por lo tanto, aunque el dominio de  es , el dominio de su derivada es .  |
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2. Sea funa función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal que: > para todo x e y. Además, f(0)=1 y  existe. Probar que f ’(x) existe para todo x y . |
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Solución |
De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f:  (Hipótesis) (factor común) (1) Ahora,  y como por hipótesis,  , se tiene que:  (2). De la igualdad (2) se deduce también que  existe.  Sustituyendo (2)en (1) se concluye que:  y además f ’(x) existe. |
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3. Considere la función f definida por: Determine el valor de las constantes a y b para que f ’(1) exista. |
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Solución |
En primer lugar si f ’(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 (sección 9.3.), f es continua en x = 1. O equivalentemente,  .  Esto es,  (1)  Ahora, decir que f ’(1) existe,equivale a afirmar que f ’+(1) y f ’- (1) (las derivadas laterales) existen y son iguales.  Pero,  (Porqué?) 
  Asi que:  (2)  Igualmente,  (3) (Porqué?)  Sustituyendo (1) en (3), se tiene:  Es decir,  (4)  De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y en consecuencia, b = -1.  Con los valores de a y b asi encontrados, la función f puede escribirse asi:  |
|4. Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:  a. b. c. d. |
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Solución |
a) Por la regla de la cadena: Pero,  (R.D.7 )  Luego,  b) Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g (t) con exponentes racionales. Asi: Entonces:  (Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.). 
  c. Pero,  Luego, 
  d. En primer lugar note que: Asi que:  Pero,  Luego,  |
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5. De dos funciones f y g se sabe que:  ; ;  y  ¿En que valor de x es posible calcular ? ¿A que es igual?  ¿En que valor de x es posible calcular ? ¿A que es igual? |
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Solución |
La regla de la cadena (R.D.8.) establece que : 
Existen de acuerdo a la información inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 y 
x = 5.  Si x = 3,  perono tenemos información acerca de los valores g(3) ni g ’(3). Asi que no es posible calcular  en x = 3.  Si x = 5, .  Pero, y  Luego,  Se puede verificar y se deja como ejercicio que la información dada es insuficiente para calcular  y . (¡Verifique!). |
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6. Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula:  , hallar  ó y’. |
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Solución |
La ecuación:  puedeescribirse en las formas equivalentes:  (1)  Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene: 
, de donde,  |
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7. Suponga que y (x) es una función diferenciable de la variable x; y además las variables x e y están ligadas por la fórmula:  (1)Suponga que y(1)=1. Hallar siguiendo estos pasos:  a)  Demuestre que:  b)  Use la parte a. para calcular y’(1).  c)  Derive la ecuación obtenida en a.para demostrar que:  d) Use la ecuación obtenida en c. para calcular  (Nota: Se conocen  y ).  |
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Solución |
a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene:  (2)  b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) así:  Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:  Esto es, 
  De donde,  c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:  (3)  d. Como y dependede x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) así:  Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:  Pero,  y . Luego,  Esto es,  De donde,  |
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8. Determine las ecuaciones de la recta tangente  y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación: , en el punto P (3, 1).  |
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Solución |
Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1)...