Problemas sobre derivadas

PROBLEMAS RESUELTOS

MATEMÁTICA I

1. Determine la derivada de la funciòn

y = 4x + 1

Solución

f (x + h) − f (x)
dy
= l´
ım
dx h→0
h
4(x + h) + 1 − 4x − 1
= l´
ım
x→0
h
4h
=l´
ım
x→o h
= l´ 4 = 4
ım
x→0

2. Determine la derivada de la funciòn

y = 2x2 + 3x − 5

Solución

f (x + h) − f (x)
dy
= l´
ım
dx h→0
h
2(x + h)2 + 3(x + h) − 5 − 2x2 − 3x + 5
= l´ım
h→0
h
h(4x + 2h + 3)
= l´
ım
= l´ (4x + 2h + 3) = 4x + 3
ım
h→0
h→0
h
3. Determine la derivada de la funciòn

y = ax

Solución

dy
f (x + h) − f (x)
= l´
ım
dx h→0
h
ax+h −ax
= l´
ım
h→0
h
x h
ah − 1
a a − ax
= ax l´
ım
= ax ln(a)
= l´
ım
h→0
h→0
h
h

4. Hallar la derivada de

y = 3x5 − 2x2 + 4

Solución
′

′

′

y = (3x5 ) − (2x2 ) + (4)= 15x4 − 4x
5. Hallar la derivada de

′

u = ax4 − 3bx5

Solución
′

′

′

y = (ax4 ) − (3bx5 )
= 4ax3 − 15bx4
6. Hallar la derivada de

v=−

t2 t7
+
2
7

Solución

( 2 )′ (7 )′
t
t
v = −
+
2
7
1
1
= − 2t + 7t6 = −t + t6
2
7
′

7. Hallar la derivada de

y=

a−t
a+t

Solución
′

(a + t)(a − t) − (a − t)(a + t)
y =
(a + t)2
−(a + t) − (a − t)−2a
=
=
2
(a + t)
(a + t)2
′

8. Hallar la derivada de

y=

√
b2 − x2

Solución
′

(b2 − x2 )
y = √
2 b2 − x2
(−2x)
(−x)
= √
=√
2 b2 − x2
b2 − x 2
′

2

′

9. Hallar laderivada de

y=

a2 + x2
a2 − x 2

Solución
′

′

(a2 − x2 )(a2 + x2 ) − (a2 − x2 ) (a2 + x2 )
y =
(a2 − x2 )2
4a2 x
(a2 − x2 )(2x) − (a2 + x2 )(−2x)
= 2
=
(a2 − x2 )2
(a − x2 )2′

10. Hallar la derivada de

y = e3x ln(x2 + 1)

Solución
′

′

y = (e3x ) ln(x2 + 1) + (e3x )(ln(x2 + 1))
2x
= 3e3x ln(x2 + 1) + e3x ( 2
)
x +)
1
(
2x
= e3x 3ln(x2 + 1) + 2
x +111. Hallar la derivada de

y = ecos(t)+ln(t)

Solución
′

′

y = ecos(t)+ln(t) (cos(t) + ln(t))
(
)
1
′
cos(t)+ln(t)
y =e
−sen(t) +
t
(
)
1
= ecos(t) eln(t)
− sen(t)
t
)...