Problemas sobre límites y continuidad de funciones de varias variables

Funciones de varias variables (I)

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TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I):
LÍMITES Y CONTINUIDAD
1º) En R3 hallar la distancia entre los puntos (1,1,1) y (3,5,-2).
(Sol.: 29 )
2º) En R2 hallar la norma del vector v = 3.e1 + 4.e 2 .
(Sol.: 5)
3º) Comprobar que siendo a, b y c tres puntos de Rn, se verifica la desigualdad:
d (a, b) ≥| d (a , c ) − d (b, c ) | .
4º) Sean ε 1 y ε 2 dosvalores reales estrictamente positivos y sea a=(ax,ay) un punto
de R2. Se define el entorno rectangular U( ε 1 , ε 2 ) de a como el conjunto:
U (ε 1 , ε 2 ) = {( x, y ) ∈ R 2 / | a x − x |< ε 1 y | a y − y |< ε 2 } . Se pide:
a) Comprobar que un entorno rectangular de a incluye siempre alguna bola abierta
de centro a y radio suficientemente pequeño.
b) Comprobar que toda bola abierta de centro a y radioε incluye siempre algún
entorno rectangular del punto a.
5º) Sean {xm} e {ym}dos sucesiones de Rn tales que:

lim x m = L

m→∞

y

lim d ( x m , y m ) = 0 . Demostrar que en dicho caso: lim y m = L .
m →∞

m→∞

6º) Hallar el campo de definición de las siguientes funciones:
 x
6-1) f ( x, y ) = arcsen  + x. y .
2
(Sol.: C = {( x, y ) / − 2 ≤ x ≤ 0, y ≤ 0} Υ {( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0} )6-2) f ( x, y ) = 1 − x 2 + 1 − y 2 .
(Sol.: C = {( x, y ) / − 1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1} )
6-3) f ( x, y ) = sen( x 2 + y 2 ) .
(Sol.: C = {( x, y ) / ∃k ∈ Z : 2.k .π ≤ x 2 + y 2 ≤ 2.(k + 1).π } ).
1
1
6-4) f ( x, y ) =
+ .
x− y y
(Sol.: C = {( x, y ) / x ≠ y, y ≠ 0} )
6-5) f ( x, y ) = ln( x 2 + y ) .
(Sol.: C = {( x, y ) / y > − x 2 } )
6-6)
Siendo
R
una
constante
 R

.
f ( x, y ) = x. y + x 2 + y2 − R 2 + ln 2
2 
x + y 
(Sol.: C = {( x, y ) / x 2 + y 2 = R 2 } )
6-7) f ( x, y ) = c tg (( x + y ).π ) .
(Sol.: C = {( x, y ) / x + y ≠ m, m ∈ Z } )
2

positiva,

Funciones de varias variables (I)

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7º) Trazar las curvas de nivel de las funciones:
7-1) f ( x, y ) = x + y .
(Sol.: Rectas de pendiente –1)
7-2) f ( x, y ) = x 2 + y 2 .
(Sol.: Circunferencias de centro el origen)
y
7-3) f( x, y ) = 2 .
x
(Sol.: Parábolas de ecuación y=k.x2)
2 − x. y + 4
.
x →0
x
y
.
y →0

8º) Calcular el límite: lim
(Sol.: -1/4)

9º) Calcular los límites radiales y el límite doble en (0,0) de la función
x 2.y
f ( x, y ) = 2
.
x + y2
(Sol.: límites radiales: 0, límite doble: 0)
10º)

Hallar

en (0,0) los límites reiterados
 π

.
f ( x, y ) = x. y. sen 2
2 
x + y 
(Sol.: límites reiterados:0, límite doble: 0)
11º) Calcular lim
x →0
y →0

ln(1 + x 2 + y 2 )
1− 1+ x2 + y2

y

el

límite

doble

de

reiterados

de

.

(Sol.: -2)
12º)

Hallar

en (0,0) el límite doble y
π 
π 
f ( x, y ) = x 2 . sen  − y 2 . sen  .
x
 y
(Sol.: límite doble: 0, límites reiterados: no existen)

los

límites

x2 − y2
no existe mediante el cálculo de los límites
x → 0 x 2 + 2. y 2
y →0

13º)Demostrar que lim

radiales y de los límites reiterados.
(Sol.: límites radiales: (1-k2)/(1+2.k2), límites reiterados (-1/2) y 1)
14º) Calcular los límites radiales y el límite doble en (0,0) de la función
x 2 .y 3
f ( x, y ) = 4
.
x + y4
(Sol.: límites radiales: 0, límite doble: 0)

Funciones de varias variables (I)

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x. y − 2. y
.
x → 2 x + y 2 − 4.x + 4
y →0

15º) Hallar lim

2

(Sol.: Noexiste pues los radiales dependen de la dirección seguida. Los radiales
resultan ser k/(k2+1))
16º) Hallar en (0,0) los límites reiterados, radiales y según las direcciones y = λ.x α ,
con α > 0 , de la función f ( x, y ) =

x. y 2
. De los resultados obtenidos ¿qué se
x2 + y4

puede decir del límite doble?.
(Sol.: Reiterados: 0 y 0; Radiales: 0; Direccional: dependen de α y de λ . Más
λ2
1
1concretamente: si α ≠ : límite = 0; si α = : límite =
, el límite doble
2
2
1 + λ4
puede afirmarse que no existirá)
17º) Calcular lim

x− y

x →1
y →1 cos( x

π
− y− )
2

.

(Sol.: 1)
x2 − 4y2
18º) Calcular lim 2
.
x →0 2 x + y 2
y →0
(Sol.: No existe pues los límites reiterados valen –4 y ½)

(x − 1)2 .( y + 1)
x →1 (x − 1)4 + ( y + 1)2
y → −1

19º) Calcular lim

.

(Sol.: No existe. Si se calculan...