Problemas Tema 2 Mates

´
MATEMATICAS

Relaci´
on de Ejercicios

GADE
Curso 2015/2016

No 1

1. Para cada una de las funciones siguientes determina los valores que se piden.
(a) f (x) = x2/5 ;

f (243), f (−729), f (t20 ). (b) g(x) = 4 − x2 ;

g(−8), g(u), g(u2 ).

2. Determina el dominio de las siguientes funciones:
(a) f (x) = 5x3 + 2x
x−2
(d) h(x) = √
8 − 2x
4 − z2
(g) F (z) = 2
z +z+1

x
x−1
√
√
(e) f (x) = x + 3 −x
(b) g(x) =

(h) G(r) =

(c) f (t) =

√
−t + 5

3t − 1
4t + 10
√
x−4
(i) G(x) =
ln(x + 6)

(f) H(t) =

2r − 2
r2 − 9

(j) g(x) = ln(x + 1) + ln(6 − x)
3. Si f (x) = x2 y g(x) = 5 + x, calcula:
(a) (f + g)(x),

(b) (f − g)(x),

(c) (f − g)(− 21 ),

(d) (f · g)(x),

f 1
(− ),
g 2

(g) (f ◦ g)(x),

(h) (g ◦ f )(x),

(i) (g ◦ f )(−3).

(f)

(e)

f
(x),
g

√
s y g(t) = t2 − 4t + 2, describe (f ◦ g)(t)y (g ◦ f )(s) y determina su dominio.
√
5. Si F (s) = s y G(t) = ln(t − 5), describe (F ◦ G)(t) y (G ◦ F )(s) y determina su dominio.
4. Si f (s) =

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f (x) = x6 + 2x
(
)
x+2
(d) f (x) = ln
x−1

x
2−x
x2
(e) f (x) = x
e −4
(b) f (x) =

(c) f (x) = ln(x + 1)
(f) f (x) =

2x3
|x − 1|

7. Estudia la continuidad y esboza la gr´afica de lasfunciones definidas por:
{
{
−x2 + 1, para x ≤ 0
4x − 2, para x ≤ 2
(a) f (x) =
(b) f (x) =
x2 ,
para 0 < x
−x + 8, para x > 2
8. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
{
3x,
x≤1
−x2
(a) f1 (x) =
(b) f2 (x) =
1 − |x|
4x3 − x, x > 1


 x + 4,
0≤x≤2
x+1
(d) f4 (x) =

 ln(x − 1) + 2, 2 < x ≤ 5

(e) f5 (x) =

(c) f3 (x) =


5


, 1≤x<3


x+2



e(3−x) , 3 ≤ x < 5






3,
5≤x≤7
e2

9. ¿Para qu´e valor de a es continua la siguiente funci´on en todo R?

 ax − 1, si x ≤ 1
f (x) =
 2
x + 3, si x > 1
1

2x2
|x − 1|

10. Halla las as´ıntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones, en caso de que existan.
(a) f (x) =

5−x
2x − 6

(b) g(x) =

5
x+2

(c) h(x) =

x2 − 9
x2 − 3x

(d) F (x) = x3

11. Localiza una ra´ız de la ecuaci´on x3 + 6x2 + 5x = 2 enun intervalo de amplitud 1.
12. Encuentra un intervalo de amplitud 1 en el cual exista al menos una ra´ız de la ecuaci´on x5 +
4x2 − 3x − 1 = 0.
13. ¿Se puede aplicar el Teorema de Bolzano a la funci´on p(x) = x4 −16 en los extremos del intervalo
[−3, 3]?¿Podemos asegurar que no hay soluci´on en dicho intervalo?
14. El valor del impuesto sobre la renta, T , que debe pagar una persona depende de surenta, R,
de la manera que se indica a continuaci´on. Si R no supera los 10000 euros, no paga nada. Si
R supera los 10000, pero no los 20000 euros, paga el 10% de lo que exceda de los 10000. Si R
supera los 20000 pero no los 40000 euros, paga 1500 euros m´as el 20% de lo que exceda de los
20000. Por u
´ltimo, si R supera los 40000 euros, paga 7500 euros m´as el 40% de lo que exceda
de los 40000euros. Obt´en la expresi´on matem´atica de T = f (R) como una funci´on a trozos,
esboza su gr´afica y estudia la continuidad de la funci´on.
15. El coste total de producir x unidades de un cierto bien es una funci´on lineal. En una ocasi´on,
se fabricaron 100 unidades a un coste total de 350 euros y, en otra, se fabricaron 150 unidades
por 400 euros. Halla la funci´on lineal de coste total ent´erminos del n´
umero x de unidades
producidas.
16. Se supone que la demanda por semana de un cierto producto es de 100 unidades cuando el
precio es de 60 euros por unidad, y de 200 unidades si son 50 euros cada una. Halla la funci´on
de demanda suponiendo que es lineal.
17. Se sabe que el coste total de producir un cierto bien viene determinado por la funci´on C(q) =
4q + 200, donde q representa el n´umero de unidades producidas. Adem´as, el ingreso total es
2
I(q) = q − 3q. Halla la expresi´on de la funci´on beneficio, B(q).
q
10
− la funci´on de demanda de cierto producto, que nos da el precio p = D(q)
q+2 4
en funci´on del n´
umero de art´ıculos demandados q. Halla la expresi´on de la funci´on de ingreso
I(q).

18. Sea D(q) =

19. Se considera una empresa que produce un bien cuyo precio...