Problemas termodinamica

Problema 1. En problemas relacionados con el análisis de segunda ley, demostramos que el gradiente de temperatura en el volumen de control de un sistema genera entropía. En general, establecimos que la entropía se genera como consecuencia de los gradientes de temperatura, presión y concentración ; lo que faculta el transporte de calor, cantidad de movimiento y materia. La Figura 1.1 muestra unsistema donde dos cámaras de igual volumen, A y B, están separadas por un pistón diatérmico, que A B puede moverse libre de roce. Ambas cámrasa contienen el mismo gas ideal La característica diatérmica del pistón anula el gradiente de temperatura entre las cámaras. Vamos a suponer que PA0 = k PB0 . Si k > 1, la evolución esperada del proceso es una expansión de la cámara A contra la TA0 = T B0 PA0 =k P B0 cámara B. Consideremos el análisis energético y entrópico Figura 1.1. Sistema con gradiente de presión del sistema que, reconocidamente, incluye un gradiente de presión en el evento que k 1.  Observaciones físicas : el volumen de la cámara total permanece constante
n RT n RT n RT  B B0  A AF  B BF PA 0 PB 0 PAF PBF  reconociendo que las temperaturas iniciales de las cámaras, lastemperaturas finales y las presiones finales deben ser las mismas, la ecuación anterior simplifica a VT  A0  B 0  AF  BF  V V V V nA RTA0

 n n TA0  A  B P  A0 PB0

 T AF  A  B  n n   PAF

 adicionalmente, como los volúmenes iniciales de las cámaras son los mismos
VA 0  B 0  V n ART A0 n B RTB0 n P   A  A0  k PA 0 PB 0 nB PB 0

 de modo que la regla general decomportamiento del sistema queda restricta a
T  n n  T  nA  B AF  A  B   nA  B AF  n  n TA 0  A 0 PB 0  P TA 0
 1

PAF

 nA   AF PA0  A  B TAF PA0  B0 T n n P 2       TA 0 2  PA 0  2TA 0  nA

 1

(1)

 Balance de energía : se trata de un sistema cerrado, en cuya frontera no hay flujo de trabajo ni calor. Adicionalmente, podemos ignorar la contribución demanifestaciones mecánicas de la energía. Es así que

  A  U B  A   B   U U  n UA n UB 0

 entonces, para el caso de un gas ideal
nA Cv A 0  AF  nB Cv B 0  BF  A Cv  B Cv T T  T T n n

T 

A0

 AF  0 T 

(2)

  se deduce del balance de energía que la temperatura permanece invariante durante el proceso. De esta forma, la ecuación (1) y, en general, losestados del sistema reducen a
P  B0 P PAF  BF  A0 P 2 TAF  BF  B 0  A 0 T T T

(3)



 Balance de energía : en forma general tenemos
 Q dS  nS      A  B   gen   S gen S n S A n SB S dt T

 al tratarse de un gas ideal, tenemos
 T P   T P  nA C p mS ln AF  ln AF  nB C p mS ln BF  ln BF  Sgen R  R  TA0 PA0   TB0 PB0    ecuación que, en vista a losobservables físicos y el balance de energía reduce a
Sgen P P  B0 P P  B0 P   1 k  A0 ln A0   A0 ln   ln  k Rn B PB0 2PA0 2PB0  2k k  1    ln 2  donde k = PA0 /PB0  

(4)

1.0

0.8

0.6

Sgen /(R nB)

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4 0 1 2 k = PA0 /PB0 3 4

Los resultados de cálculo pueden observarse en la Figura 1.2. Podemos notar que, en tanto exista gradientede presión entre las cámaras, k difiere de 1 y la entropía se genera durante la evolución del proceso. Cuando k < 1, la cámara B tiene mayor presión inicial y se expande contra la cámara A. Cuando k > 1, la cámara A tiene mayor presión inicial y la dirección de la expansión se invierte. Notar que a mayor gradiente de presión inicial, la entropía generada es mayor. Además, cuando no hay gradientede presión entre cámaras (k = 1), el sistema está mecánicamente equilibrado y no hay evolución

Es interesante notar que, de acuerdo a la ecuación (2), el sistema evoluciona isotérmicamente (es decir, no hay gradiente interno de temperatura). En general, sólo tenemos gradiente de presión, que es lo genera entropía durante el proceso. Problema 2. Un estanque lleno de gas ideal se descarga...