problemas topologia

taller 7

Autor: Jairo Andres Buitrago Código: 153790

Abril 30 de 2013

Ejercicios de la sección 4.2 y 4.3
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Sección 4.2:
1. .

(i) Sí a, b, c y d son números reales con a < b y c < d, pruebe que [a, b] ∼ [c, d].
=
Solución: De la ecuacion de la recta:
y = y0 = m(x − x − 0)

tenemos:
y(x) =

d−c
(x −a) + c
b−a

y(x) es biyecion de R en R, pues es una recta no constante ya que c < d, y por que toda recta no constante es
1 − 1 y sobre. Ahora como y(x) es la recta que pasa por los puntos (a, c) y (b, d) entonces y(x) es biyecion de [a, b]
en [c, d]. Como y(x) es es creciente c < d y a < b y sobre, entonces es continua y como
y −1 =

b−a
(y − c) + a
d−c

tambien es una recta crecientey sobre, entonces es continua, por lo tanto y(x) es un homeomorsmo. de [a, b] en
[c, d].
(ii) Sí a y b son cualquier numero real, pruebe que
(−∞, a] ∼ (−∞, b]
=

1

[a, ∞) ∼ [b, ∞)
=

Solución: Sean:

f : (−∞, a] −→ (−∞, b]
x −→ x − a + b
g : [a, ∞) −→ [b, ∞)
x −→ x − a + b
h : (−∞, b] −→ (a, ∞]
x −→ −x − b + a

Como f , g , h son rectas. Aplicando el rasonamiento dado en i)de este mismo punto, solo que aqui h y h−1 son
estrictamente decrecientes pero como tambien son sobre deben ser continuas. Se concluye que son homeomorsmos.
(iii) Sí c, d, e y f son números reales con c < d y e < f , pruebe que.
[c, d) ∼ [e, f ) ∼ (c, d] ∼ (e, f ] .
=
=
=

Solución: Sean:

f : [c, d) −→ [e, f )
x −→ (f −e) (x − a) + c
(d−c)
g : [e, f ) −→ (c, d]
x −→ (f −e) (x − a)+ c
(d−c)
h : (c, d] −→ (e, f ]
x −→ (f −e) (x − a) + c
(d−c)

Como f , g , h son rectas. Aplicando el rasonamiento dado en ii) de este mismo punto, Se concluye que son
homeomorsmos.
(iv) Deduzca que para cualquier número real a y b con a < b,
[0, 1) ∼ (−∞, a] ∼ [a, ∞) ∼ [a, b) ∼ (a, b] .
=
=
=
=

Solución:
2. Pruebe que Z ∼ N.
=

Solución: Para ver que Z

N, mostremos queexiste una biyección, tal que envié abiertos en abiertos, y su imagen inversa
también envié abiertos en abiertos.
Sea f : Z → N tal que.

f (k) =

 −2k − 1, k < 0
2k,
k>0

0,
k=0

Veamos que es biyección .
Es sobre pues dado w ∈ N, tenemos que w es par, w es impar o w = 0, en tal caso tenemos que w = 2
w = −2 1 (1 − w) − 1, ó w = 0.
2
donde 1 w ∈ Z pues w es par, 1 (1 − w) ∈ Zpues 1 − w es par.
2
2
Mostremos ahora que es inyectiva. Supongamos f (m) = f (n).
f (m) impar −2m − 1 = −2n − 1
f (m) par
2m = 2n

1
2w

ó

⇒ m=n
⇒ m=n

Si f (m) = 0, m = 0.
Veamos que envía abiertos en abiertos.
Sea U ∈ ℘(Z), entonces f (U ) ⊆ N por lo tanto f (U ) ∈ ℘(N).
Ahora dado W ∈ ℘(N), entonces f −1 (W ) ⊆ Z por lo tanto f −1 (W ) ∈ ℘(Z).
Esto muestra que Z N.
3. Seam y c números reales diferentes de cero y X el subespacio de R2 dado por X = {(x, y) : y = mx + c}. Pruebe que X
es homeomorfa a R.

2

Solución: Considerando R2 con la topología usual, es decir, la generada por las bolas abiertas (ó discos abiertos); entonces,
una base para el subespacio X es la determinada por la intersección de las bolas abiertas en R2 con X , teniendo en
cuenta que unpunto en X es de la forma (x, mx + c), luego, dicha base serán los intervalos abiertos en X dados por
((p, mp + c), (q, mq + c))X = {(x, y) ∈ X : p < x < q}

donde (p, mp + c), (q, mq + c) ∈ X.
Ahora, sea la función f dada por
f :

X
−→
(x, y) −→

R
f ((x, y))

=x

Vamos a probar que f es un homeomorsmo, inmediatamente se observa que f es una especie de proyección de unsubconjunto de R2 en R.
Es necesario probar todas las condiciones para que f sea homeomorsmo:
Inyectiva: Sean (x, y), (r, s) ∈ X Sí f ((x, y)) = f ((r, s)) entonces x = r, luego, mx = mr, por lo tanto, mx + c =
mr + c, pero como (x, y), (r, s) ∈ X entonces se tiene que y = mx + c y s = mr + c, lo que implica que y = s. Por
lo tanto, se tiene que (x, y) = (r, s).
Sobreyectiva: Sean x ∈ R, entonces y...