Problemas

Problema:
FLORANID S.A., es una empresa dedicada a la comercialización de abonos para plantas que emplea 3 tipos diferentes de ingredientes A, B y C, para conseguir 3 tipos de abonos 1, 2, y 3.

En cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es limitada y sus costos son los siguientes:
INGREDIENTE | CANTIDAD DISPONIBLE (kg) | COSTOS(pts/kg) |
A | 4.000 | 1.300 |
B | 6.000 | 1.500 |
C| 2.000 | 1.000 |
Los costos de los abonos son:
Abono 1 2.000 pts/kg
Abono 2 3.000 pts/kg
Abono 3 1500 pts/kg.

Además de lo anterior, los ingredientes han de mezclarse en proporciones específicas para asegurar una combinación adecuada:

Para el abono 1, no menos del 25 % de A y no más del 40 % de C; para el abono 2, no menos del 30 % de A, no menos del 20 % ni más del 30 % de B yno más del 15 % de C; y para el abono 3, no menos del 35 % de B.

Con todos los datos que FLORANID S.A. nos ha facilitado, nos piden que determinemos: ¿Cuánta cantidad de cada tipo de abono hay que producir de forma que se maximice el beneficio de la compañía?

Así pues, con los datos facilitados, podemos construir un primer esquema que nos permitirá desarrollar el modelo de programación linealpara la resolución del problema:

INGREDIENTES | ABONOS | CANTIDAD DISPONIBLE (kg) | COSTOS (pts/kg) |
| 1 | 2 | 3 | | |
A | X11 | X12 | X13 | 4000 | 1300 |
B | X21 | X22 | X23 | 6000 | 1500 |
C | X31 | X32 | X33 | 2000 | 1000 |

VARIABLES DE DECISIÓN

Xij : cantidad de ingrediente del tipo i para cada tipo de abono j.

RESTRICCIONES

X11 + X12 + X13 4000
X21 + X22+ X23 6000 Restricciones de disponibilidad
X31 + X32 + X33 2000

0,75 X11 – 0,25 X21 – 0,25 X31 0
0,60 X31 – 0,40 X11 – 0,40 X21 0
0,70 X12 – 0,30 X22 – 0,30 X32 0
0,80 X22 – 0,20 X12 – 0,20 X32 0 Restricciones específicas de la mezcla
0,70 X22 – 0,30 X12 – 0,30 X32 0
0,85 X32 – 0,15 X22 – 0,15 X12 0
0,65 X23 – 0,35 X13 – 0,35 X33 0

FUNCIÓNOBJETIVO Bº = Ingresos – Gastos

Abono 1:

2000(X11 + X21 + X31) – 1300X11 – 1500X21 – 1000X31 = 700X11 + 500X21 + 1000X31

Abono 2:

3000(X12 + X22 + X32) – 1300X12 – 1500X22 – 1000X32 = 1700X12 + 1500X22 + 2000X32

Abono 3:

1500(X13 + X23 + X33) – 1300X13 – 1500X23 – 1000X33 = 200X13 + 500X33

Max (700X11 + 1700X12 + 200X13 + 500X21 + 1500X22 + 1000X31 + 2000X32 + 500X33)Así pues, una vez definidas las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones sujetas a ella, hemos trabajado los datos para proceder a su resolución. Por tanto, en el siguiente cuadro se muestra el resumen de la solución óptima hallada a través de los cálculos, y en la siguiente página presentamos el último cuadro del SIMPLEX.
SOLUCIÓN ÓPTIMA:
X11 = 0 | S1 = 0 |X12 = 4000 | S2 = 3328 |
X13 = 0 | S3 = 0 |
X21 = 0 | S4 = 0 |
X22 = 2182 | S5 = 0 |
X23 = 490 | S6 = 1818 |
X31 = 0 | S7 = 727 |
X32 = 1091 | S8 = 0 |
X33 = 909 | S9 = 0 |
Z = 12700000 | S10 = 0 |

En este cuadro se destaca principalmente la presencia de 10 variables de holgura (S), cada una de las cuales hacereferencia a cada una de las restricciones que condicionan a la función objetivo.

Por tanto, puesto que ya sabemos que una variable básica es aquella cuya solución óptima es diferente de cero, podríamos clasificar las variables de la solución de la siguiente forma:

Variables básicas: X12 , X22 , X23 , X32 , X33 , S2 , S6 , S7 .

Variables no básicas: X11 , X13 , X21 , X31 , S1 , S3 , S4 , S5 ,S8 , S9 , S10

Así pues, tal y como se ve reflejado en la solución del modelo de programación lineal que hemos definido, estas serían las combinaciones de ingredientes y las cantidades de abono producidas que nos permiten maximizar el beneficio:

Abono 1:
No utilizamos ningún ingrediente para conseguir este tipo de abono, por lo que no vamos a producir nada de él.

Abono 2:
Para...