Problemas

Tema 10 – Combinatoria – Matemáticas B – 4º ESO

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TEMA 10 – COMBINATORIA
EJERCICIO 1 : Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cuatro cifras distintas se podrán formar de modo que acaben en cifra par? Solución: Los números han de acabar en 4 ó 6, luego hay 2 opciones: _ _ _ 4 ___6 En cada uno de estos dos casos hay tres espacios que hemos de llenar con cuatro cifras. Porinfluir el orden y no poderse repetir las cifras, tendremos: 2 · V4, 3  2 · 4 · 3 · 2  48 Se pueden formar 48 números de cuatro cifras que acaben en cifra par. EJERCICIO 2 : Para formar un equipo de pádel se necesitan 4 jugadores y un entrenador, que se deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 entrenadores. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar? Solución: El orden, a la hora de elegir4 jugadores, no influye. V10, 4 10  9  8  7  Formas de elegir a los jugadores: C10, 4    210 elecciones P4 4  3  2 1  Formas de elegir a los entrenadores  3 formas Por cada entrenador, tengo 210 maneras de elegir a los jugadores. Como hay 3 entrenadores, en total tendré 3 · 210  630 equipos. EJERCICIO 3 : Los 13 alumnos de un grupo de 2º de Bachillerato desean que les hagan una fotoa todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no deben aparecer ni dos chicas ni dos chicos juntos. Sabiendo que hay 7 chicas, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse? Solución: Para que no haya ni dos chicos ni dos chicas juntas, la fila ha de empezar y terminar con chica. A  chica O  chico
AOAOAOAOAOAOA

 Formas de colocar a las chicas: P7  7 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  5 040  Formas de colocar a los chicos  P6  6  6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  720 Para una colocación fija de las chicas, tenemos 720 colocaciones de los chicos. Por tanto, en total habrá 5 040 · 720  3 628 800 colocaciones. EJERCICIO 4 : Halla el número de capicúas de seis cifras. Solución: El número será de la forma abccba; luego basta ver cuántas ordenaciones hay conla forma abc. 3 El orden influye y los dígitos del 0 al 9 se pueden repetir: VR10, 3  10  1 000 Ahora bien, la décima parte de estos números empezarán por 0; luego no tendríamos un número de seis cifras sino de cinco cifras. 1 Como  1000  100, el número de capicúas de seis cifras es 1000  100  900. 10 EJERCICIO 5 : Disponemos de 8 colores para pintar un mural dividido en 3 columnas; cadauna de ellas se ha de pintar de un color distinto. ¿Cuántos murales se pueden confeccionar incluyendo el color verde siempre? ¿Y si quisiéramos que apareciera el azul pero no el negro? Solución: En ambos casos, el orden de los colores influye.  En el 1er caso, el verde puede estar en cualquiera de las tres columnas. Fijado en una de ellas, disponemos de 7 colores para pintar dos columnas  V7, 2 7 · 6  42 Como hay tres posiciones para el verde: 3 · V7, 2  3 · 42  126 murales  En el 2º caso, fijado el color azul en una columna y no queriendo incluir el negro, disponemos de 6 colores para pintar 2 columnas  V6, 2  6 · 5  30 Como hay tres posiciones para el azul: 3 · V6, 2  3 · 30  90 murales

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EJERCICIO 6 : Ocho ciclistasvan por el carril bici en fila. ¿De cuántas formas pueden ir ordenados? Solución: El orden en la fila influye  P8  8!  40 320  Se pueden colocar de 40 320 formas distintas. EJERCICIO 7 : A una familia de 6 personas les ha tocado un viaje para dos personas. ¿De cuántas formas se pueden repartir el viaje? Solución: El orden en la selección no influye El viaje se puede repartir de 15 formas.EJERCICIO 8 : En un concurso de radio participan 7 personas, de las cuales, 2 pueden conseguir los premios, que son: una enciclopedia y una radio. Sabiendo que una persona no puede conseguir los dos premios, ¿cuántas posibles distribuciones hay? Solución: Influye el orden, los premios son distintos  V7, 2  7 · 6  42 Hay 42 posibles formas de distribuir los premios. EJERCICIO 9 : Para hacer una...