Problemas

Problemas
Ejemplo 1
Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa que tenga un volumen de 24πcm3. El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea parala parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, calcular las dimensiones del recipiente cilíndrico que hacen que el costo de material de fabricación sea mínimo.Solución: Comenzaremos por trazar un esquema del recipiente, como se muestra en la Figura 3, en la que r denota el radio de la base (en cm), y h la altura (en cm).

Como el volumen es de 24πcm3 tenemosla siguiente ecuación lo que nos da una relación entre r y h (paso 3)

El objetivo es minimizar el costo C del material utilizado para construir el recipiente (paso4). Si a denota el costo porcentímetro cuadrado del material a emplear para la parte curva, entonces el centímetro cuadrado del material que se use para la base costara 3a por . Por lo tanto, el costo del material para la partecilíndrica es a (2πrh) y el del material para la base es 3a (). En consecuencia, el costo C de todo el material es:

Como entonces C = donde r > 0. Como a es fijo, esta ecuación expresa C como unafunción de una variable r (paso 4). Ahora derivamos a C respecto de r

Al hacer obtenemos a 2 como único punto crítico. Usando el Criterio de la Primera Derivada se demuestra que C alcanza su valormínimo cuando r = 2cm. El valor correspondiente a la altura es h = 6cm (se obtiene al sustituir r = 2 en ). Ya que el dominio de la función es el intervalo (0, +∞) no puede haber valores extremos en lafrontera.
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Ejemplo 2
Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un
Círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:
a. Lasuma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
Solución:
Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos.
Si...