Problemas

Problemas resueltos por los alumnos

1. Una empresa fabrica bombillas blancas de bajo consumo cuya duraci´n media o es de 10 a˜os, pero algunas de ellas son defectuosas y tienen una vida media de 1 n a˜o. Se sabe que l 10 % de la bombillas fabricadas son defectuosas. n 1. Un cliente compra una bombilla de esta empresa y despu´s de un a˜o sigue e n funcionando: ¿Cu´l es la probabilidad de quesea defectuosa?¿Cu´l es la probaa a bilidad de que funcione otro a˜o m´s? n a 2. La empresa fabrica tambi´n luces decorativas que se venden en tiras de 100 e bombillas, el tiempo de vida de las bombillas en la misma tira es independiente y tienen un tiempo de vida medio de 6 meses. ¿Cu´l es la funci´n de distribuci´n y a o o de densidad de la variable Y =tiempo de vida (en meses) de una bombilla.¿Cu´l a es la probabilidad de que despu´s de tenerlas encendidas durante un mes todas e sigan funcionando?¿Qu´ distribuci´n sigue la variable aleatoria X =N´mero de e o u bombillas que siguen funcionando al final del mes? Soluci´n o Definimos los siguientes sucesos: A=bombilla nueva B=bombilla defectuosa Nombramos las siguientes variables: T |A =Duraci´n en a˜os de las bombillas nuevas, T1 ∼ Exp(1/10)o n T |B =Duraci´n en a˜os de las bombillas defectuosas, T1 ∼ Exp(1) o n 1. P r(A|T > 1) = P r(A ∩ T > 1) P r(T > 1|A) × P r(A) = P r(T > 1) P r(T > 1) P r(T > 1) = P r(T > 1|A) × P r(A) + P r(T > 1|B) × P r(B) = = (1 − FT |A (1)) × 0,9 + (1 − FT |B (B)) × 0,1

= (1 − 1 + e−1/10 ) × 0,9 + (1 − 1 + e−1 ) × 0,1 ya que F (t) = 1 − e−λt = e−1/10 × 0,9 + e−1 × 0,1 = 0,85114 e−1 × 0,1 P r(A|T > 1) = =0,0432 0,85114

La siguiente pregunta es: P r(T > 2 ∩ T > 1) P r(T > 2) = P r(T > 1) P r(T > 1) e−2/10 ) × 0,9 + e−2 × 0,1 = −1/10 e ) × 0,9 + e−1 × 0,1 0,7503912 = = 0,8816291 0,85114

P r(T > 2|T > 1) =

2. Sea Y = tiempo de vida (en meses) de una bombilla 1 f (y) = e−y/6 y ≥ 0 6 La probabilidad de que una bombilla funciones despu´s de un mes es: e E[Y ] = 6 F (y) = 1 − e−y/6 P r(Y > 1)= 1 − F (1) = 1 − 1 + e−1/6 = 0,84 por lo tanto la probabilidad de que todas sigan funcionando es (P r(Y > 1))100 == 0,84100 = 5,7 × 10−8 Si X = N´mero de bombillas que siguen funcionando al final del mes: X ∼ u B(100, 0,84) 2. Un estudiante compra un nuevo PC que se bloquea frecuentemente. El estudiante cree que el n´mero de veces que se bloquea sigue un proceso de Poisson con una media u de tresbloqueos a la hora 1. Calcula la probabilidad de el PC siga funcionando sin bloquearse durante al menos una hora despu´s de encenderlo. e 2. Si el PC no se ha bloqueado despu´s de una hora, calcula la probabilidad de que e no se bloquee despu´s de (t + 2) horas e 3. Otro estudiante ha comprado otro PC que parece ser m´s fiable ya que ´ste s´lo a e o se bloquea una media de 1 vez por hora. Cu´l esla probabilidad de que el PC a de este estudiante se bloquee antes que el del anterior si los dos encienden sus PCs al mismo tiempo? Soluci´n o

1. Sea X = N´mero de veces que se bloquea en una hora, X ∼ P (3). u Que siga funcionando sin bloquearse despu´s de una hora, quiere decir que en el e intervalo desde que lo encendemos hasta que pasa una hora no se ha bloqueado, es decir nos piden: e−3 ×30 P r(X = 0) = = e−3 0!

Otra manera de hacerlo ser´ definiendo la variable: ıa T =Tiempo (en horas) hasta que se bloquea, T ∼ Exp(3), E[T ] = 1/3, con funci´n de distribuci´n FT (t) = 1 − e−3t y nos piden o o P r(T > 1) = 1 − FT (1) = 1 − 1 + e−3 = e−3 2. Nos piden: P r(T > t + 2|T > 1) = P r(T > t + 2) 1 − FT (t + 2) P r(T > t + 2 ∩ T > 1) = = P r(T > 1) P r(T > 1) 1 − FT (t + 1) −3(t+2)−3(t+2) 1−1+e e = = = e−3(t+1) = P r(T > t + 1) −3 1−1+e e−3

3. El ultimo apartado se me escap´ y corresponde al tema 6, ups!! ´ o 3. En unos grandes almacenes, un lunes hay 20 kits de ADSL, y el encargado de la secci´n ha de decidir si hace un pedido ya que han lanzado una oferta y por la o experiencia en otras campa˜as se sabe que el n´mero de clientes que compran durante n u los d´ de oferta...