Problemas5

PROBLEMAS DE APLICACIONES
DE LA MATEMATICA

FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD.

Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de los Andes
M´erida - Venezuela

Contenido

1

N´
umeros Complejos
1.1 Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Producto de n´
umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Forma Polar de los n´
umeroscomplejos. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Factorizaci´
on de Polinomios
2.1 Introducci´on. . . . . . . . .
2.2 Definiciones B´asicas. . . . .
2.3 Raices de Polinomios . . . .
2.4 El M´etodo de Ruffini . . . .

1
2
5
10

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21
21
22
27
34

3 Problemas de Aplicaciones
3.1 Como resolver un Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Problemas de Econom´ıa . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

53
53
54

4 Matrices
4.1 Operaciones con matrices . . .
4.2 Inversa de una matriz. . . . . .
4.3 M´etodo de Gauss para calcular
4.4 Sistemas de Ecuaciones . . . .

73
74
83
86
92

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la inversa de una
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i

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..
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matriz
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Cap´ıtulo

1
Problemas de Ciencia
En este cap´ıtulo veremos como resolver problemas de otras areas distintas a la
econom´ıa, como la Geometr´ıa, la F´ısica, la Qu´ımica, la Astronom´ıa,...etc. Dentro
de cada problemadamos las herramientas te´oricos necesarias para la resoluci´on de
los mismos.

1.1

Problemas generales

Para resolver estos problemas se requieren algunos conocimientos m´ınimos de geometr´ıa y ´algebra.
1.Area de un rect´
angulo. Un rect´angulo tiene una altura de 3 veces la longitud
de la base. Si se incrementan la base en 3 cm. y la altura en 5 cm. entonces el ´area
es de 319 cm. ¿ cuales sonlas dimensiones del rect´angulo ?
Soluci´
on. Sea X la longitud de la base. Luego la altura ser´a 3X. Al incrementar
los lados se tiene un ´area de
(X + 3)(3X + 5) = 319
Efectuando operaciones nos queda
3X 2 + 5X + 9X + 15 = 319
3X 2 + 14X − 304 = 0
Resolviendo en X obtenemos
X=

−14 ±

142 + 4(304)(3)
−14 ± 62
=
6
6
1

2

Cap´ıtulo 1.

Problemas de Ciencia

Desechamos la soluci´on negativa, portratarse de una medida de longitud, y por lo
tanto la soluci´on es X = 8.
Luego el rect´angulo tiene longitud de la base igual a 8 y altura 24.
2. Cercado de una cancha de futbol.Una cancha de futbl de 25 metros de ancho
por 76 de largo se va a cercar dejando un espacio o corredor entre la cerca y el borde
del ´area de juego. El costo de la cerca es de Bs. 4.000 por metro lineal. Si se dispone
deBs. 968.000 para cercar la cancha, entonces calcular el ancho del corredor.
Soluci´
on Sea X el ancho del corredor. Entonces el per´iımetro del rect´angulo a
cercar es
P = 2(76 + 2X) + 2(25 + 2X)
El costo total de la cerca es igual a este per´ımetro por el costo de cada metro de
cerca. Luego se tiene la relaci´on de costo
400 · ((76 + 2X) + 2(25 + 2X)) = 968.000
(76 + 2X) + (25 + 2X) = 121
dedonde
4X = 20
luego X = 5. Por lo tanto el ancho del corredor debe ser de 5 metros.
3. Calculo de Edades. Parmeno es 5 a˜
nos mayor que Sempronio. Hace diez
a˜
nos, la suma de las dos eades esra igual a 35. ¿ Cual es la edad actual de cada uno
de ellos?
Soluci´
on. Sea X la edad actual de Sempronio. Entonces X + 5 es la edad actual
de Parmeno. La suma de las dos edades hace 10 a˜
nos fue
(X − 10) + (X− 5) = 35
de donde
2X = 50

1.1.

Problemas generales

3

o sea
X = 25
Luego la edad de Sempronio es 25 y la de Parmeno es 30.
4. Fabricaci´
on de Ron. Un fabricante de Ron desea producir 60.000 lt. de un
Ron Especial con un grado alcoholico de 26 %. Si dispone de un Ron A˜
nejo de 30
% de grado alcoholico y otro de 20.5 % ¿ Que cantidad de cada ron deber´a mezclar
para obtener la cantidad...