Procedimiento Gram-Schmidt

Ortogonalización Gram-Schmidt y teoría básica de las Constelaciones

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Abstract
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ORTOGONALIZACIÓN GRAM-SCHMIDT Y TEORÍA BÁSICA DE LAS CONSTELACIONES
González C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Este módulo contiene la teoría correspondiente al método de Ortogonalización Gram-Schmidt aplicado para el proceso dela comunicación digital. Se explicarán los pasos necesarios para generar las bases ortogonales dados ciertos parámetros de la señal. Finalmente, teniendo las bases calculadas, se explicará el procedimiento para hallar la constelación correspondiente. En matemáticas, el concepto de Ortogonalidad está referido al de Perpendicularidad. Se dice que dos vectores pertenecientes a cierto espacio vectorial(V) son ortogonales si se cumple la condición de que el
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Resumen

1.1: Oct 4, 2010 6:00 pm GMT-5

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producto escalar de ellos da cero, es decir: Sean x y Si
∈ ∈

:
V V

:

(1)

< x , y > = x ·y = 0

Entonces x
⊥

:
y

A partir de un conjunto devectores linealmente independientes se puede construir un nuevo conjunto de vectores ortonormales (Que cumplan con las condiciones de ortogonalidad y norma vectorial). Esto se conoce como el método de OrtogonalizaciónGram-Schmidt (G-S). Pero, ¾cómo aplicamos este concepto para un sistema de comunicación digital?

1 Ortogonalización Gram-Schmidt
Supongamos que se tiene una señal Si(t) querepresenta a un símbolo mi . Se estima que esta señal pase por el receptor que está encargado de obtener cada símbolo de la misma. Sin embargo, es evidente que al pasar por el canal, la señal se contaminará debido a la existencia de ruido en el sistema. En una condición ideal, el resultado sería el siguiente:

Figure 1

Al introducir ruido (AWGN) en el sistema, quedaría como sigue:

Figure 2:ƒistem— de re™ep™ión ™on introdu™™ión de ruido e‡qxF

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La segunda situación ocasiona que a la salida del receptor no se obtiene el símbolo mi como tal, más bien se obtiene un estimado del símbolo original. Es en este punto en donde entra el concepto de ortogonalización G-S: La señal Si(t) puede expresarse en función de un conjuntonito de bases (o vectores) ortonormales (U), de forma tal que cada forma de onda estaría relacionada con un coeciente que llamaremos s (Una señal de energía). Matemáticamente tendríamos esto:
n

Si (t) =
i=1

sij .Uj (t)

(2)

todos los símbolos posibles,

Es decir, a cada símbolo mi se le asocia una forma de onda s. Si desarrollamos la fórmula anterior, para tendríamos un sistema deecuaciones como sigue: s1 (t) = s11 .U1 (t) + s12 .U2 (t) + s13 .U3 (t) + ... + s1n .Un (t) s2 (t) = s21 .U1 (t) + s22 .U2 (t) + s23 .U3 (t) + ... + s2n .Un (t) s3 (t) = s31 .U1 (t) + s32 .U2 (t) + s33 .U3 (t) + ... + s3n .Un (t) . . . sm (t) = sm1 .U1 (t) + sm2 .U2 (t) + sm3 .U3 (t) + ... + smn .Un (t) (3)

El objetivo en el segundo sistema mostrado en la Figura 1 es el de obtener el estimadoque más se aproxime al valor real. Esto se hace minimizando la energía de la señal de error entre el símbolo original y el estimado: sj = s (t) .Uj (t) dt
0 T

j = 1,2,3, . . . , N

(4)

Si lo vemos desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería...