Procesamiento de señales

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA

“CONVOLUICION DISCRETA Y ECUACIONES DIFERENCIALES”
PROCESAMIENTO DE SEÑALES

PROFESOR DE LA MATERIA:
M.C JULIO CESAR HERRERA GARCIA

ELABORADO POR:
VAZQUEZ ORTEGA SELENE
CERVANTES BARNABA PAOLO NICOLAS

OBJETIVO:
A) Realizar la convolución entre dos señales por tres métodos de programación diferentes.
B) Obtener, de manera recursiva, lasalida de un sistema digital representado con una ecuación diferencial.

INTRODUCCION:
CONVOLUCION DISCRETA
En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es untipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo.
Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Pararealizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función : . Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo , que llamaremos y (donde n y k son enteros).El área es, por tanto,

La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo t = 1 :

Propiedades
Conmutatividad

Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que"demos la vuelta" a una función.

Asociatividad

Distributividad

Asociatividad con multiplicación escalar

para todo número complejo o real a.
Regla de derivación

donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia
.
Teorema de convolución

donde denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace.ECUACION DIFRENCIAL
Una ecuación ordinaria en diferencias es una ecuación que contiene una o más diferencias de una función desconocida cuyo argumento es el tiempo:

donde D representa el operador retardo. Si el argumento no es únicamente el tiempo la ecuación pierde el calificativo de ordinaria y pasa a denominarse ecuación en diferencias finitas parciales.

En el contexto del análisis de seriestemporales, una ecuación de yt en diferencias es aquella en la que yt dependerá de sus valores retardados, del tiempo y de otras variables. Lo fundamental, en nuestro caso, será la aparición de los propios valores retardados de la variable yt. Un paseo aleatorio sin deriva del tipo:

es una ecuación en diferencias con un componente estocástico. En el contexto del análisis de series temporales,interesa principalmente lo que se denomina Ecuación en diferencias lineal de orden “n” con coeficientes constantes. La expresión genérica de esta ecuación es:

donde los coeficientes ai se suponen constantes (parámetros) y los “n” términos yt-i son de orden uno (ecuación lineal). El término xt se denomina “proceso de fuerza3” y puede explicitarse de formas muy diversas: función del tiempo,valores actuales y/o retardados de otras variables y/o perturbaciones aleatorias. Por ejemplo, para ao=0, a1=1 y xt=et tenemos la formulación tradicional del paseo aleatorio anterior.

Una clase muy importante de sistemas continuos es aquella para la cual la entrada y la salida están relacionadas a través de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Las ecuaciones de este tiposurgen de la descripción de una gran variedad de sistemas y fenómenos físicos, como la respuesta de un circuito RC, el movimiento de un vehículo, por mencionar algunos. En forma correspondiente, una clase importante de sistemas discretos es aquella en la cual la entrada y la salida están relacionadas a través de una ecuación de diferencias lineal de coeficientes constantes. Dicha ecuación se muestra...