Procesamiento De Sistemas Discretos

3.5. Ejercicios: Sistemas discretos

39

3.5.

Ejercicios: Sistemas discretos

Ejercicio 1. Calcule la salida y[n] de cada uno de los siguientes sistemas para la entrada x [n] que se muestra en la figura.

(1) y [ n ] = x [ n 2] (2) y [ n ] = x [4 n ] (3) y[n] = x [2n].

(4) y [ n ] = x [ n 1] δ [ n 3]. 1 (5) y [ n ] = 5 2 x [ n ] + 1 ( 1) n x [ n ] . 2 (6) y [ n ] = x n2 .Ejercicio 2. Determine si cada uno de los sistemas ( a)-(e) de la Lista I, con entrada x [n] y salida y[n], satisface las propiedades (1)-(5) de la Lista II. Justifique sus respuestas. Lista I: Sistemas Lista II: Propiedades 1]

( a) y[n] = x [n] x [n (b) y[n] = x [ n]

(1) Sin memoria. (2) Invariante en el tiempo (3) Lineal. (4) Causal.

(c) y[n] = x [n] + nx [n + 1]
+4 (d) y[n] = ∑n=n k
2

x[k] si x [n] 0, si x [n] < 0.

(e) y[n] =

x [ n ], 0,

(5) Estable.

Ejercicio 3. Verifique que una sucesión x [n] absolutamente sumable (∑n j x [n]j = Mx < 2 ∞) tiene energía finita (E = ∑n j x [n]j < ∞). Compruebe que la recíproca no es cierta. Ayuda: demuestre primero que si ∑n j x [n]j = Mx , entonces j x [n]j < Nx para todo n. Ejercicio 4. Para el sistema definido por la ecuación adiferencias y[n] = ( x [n])2 + 1, 1. Calcule la respuesta impulsiva h[n]. 2. Determine ∑n jh[n]j . 3. ¿Contradice este resultado la condición de estabilidad BIBO?

C

Ejercicio 5. Dos sistemas discretos H1 y H2 se conectan en cascada para formar un nuevo sistema H, como se muestra en la figura. Determine si los siguientes postulados son verdaderos o no.

Procesamiento Digital de Señales

U.N.S.2010

40

3. Señales y sistemas discretos

1. H1 y H2 son lineales ) H es lineal. 2. H1 y H2 son invariantes en el tiempo ) H es invariante en el tiempo. 3. Si H1 y H2 son causales ) H es causal. 4. H1 y H2 son lineales e invariantes en el tiempo ) H es lineal e invariante en el tiempo. 5. H1 y H2 son lineales e invariantes en el tiempo ) H1 H2 = H2 H1 (el intercambio del orden de laconexión no cambia al sistema compuesto H ). 6. Repita el inciso 5 suponiendo que H1 y H2 son lineales y variantes en el tiempo. 7. H1 y H2 no son lineales ) H no es lineal. 8. H1 y H2 son estables ) H es estable. 9. Muestre a través de ejemplos que los recíprocos de los incisos 1 a 8 no se verifican en general.

Ejercicio 6. Cuando el sistema lineal H se excita con la entrada x0 [n] = δ[n] la salida esy0 [n] = h0 [n] = δ[n] + δ[n 1]. En cambio, si la entrada es x1 [n] = δ[n 1] la salida resulta y1 [n] = h1 [n] = δ[n] δ[n 1]. Calcule, si es posible, 1. la salida y2 [n] ante una entrada x2 [n] = aδ[n] + bδ[n 2. la salida y3 [n] ante una entrada x3 [n] = aδ[n 1]; 2].
` u[n

1] + bδ[n

Ejercicio 7. Para el sistema lineal S con respuesta impulsiva h` [n] = an b n ` 0, y j aj < 1, jbj < 1 1.Determine si es invariante en el tiempo.

`], con

2. Calcule la respuesta y1 [n] del sistema ante una entrada escalón x1 [n] = u[n]. 3. Calcule la salida y2 [n] cuando se lo excita con una entrada x2 [n] = u[n pare y2 [n] con y1 [n]. En cada inciso analice los casos en que (i) a = b y (ii) a 6= b. Ejercicio 8. Considere tres sistemas con las siguientes relaciones entrada-salida: 1]. Com-

H1 :H2 : H3 :
Procesamiento Digital de Señales

y [ n ] = x [ n ], y[n] = ax [n y [ n ] = x [ n ], 1] + b x [ n ] + c x [ n + 1],

U.N.S. 2010

3.5. Ejercicios: Sistemas discretos

41

donde a, b, c son números reales. Encuentre la relación entrada-salida para el sistema interconectado. ¿Bajo qué condiciones sobre los números a, b, c, el sistema tiene alguna de las siguientes propiedades?1. El sistema interconectado es lineal e invariante en el tiempo. 2. La relación entrada-salida del sistema completo es idéntica a la del Sistema 2. 3. El sistema completo es causal.

Ejercicio 9. Considere el sistema de la figura. Suponga que y[n] = 0 para n < 0. 1. Dibuje la señal de salida cuando x [n] = δ[n]. 2. Dibuje la señal de salida cuando x [n] = u[n].

Ejercicio 10. Calcular la...