Proceso Administrativo

Descripción del movimiento. Estado de deformaciones

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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO. ESTADO DE
DEFORMACIONES1

1. DESCRIPCIONES DEL MOVIMIENTO. FORMULACIONES
LAGRANGIANA Y EULERIANA
En la descripción del movimiento (o desplazamiento) y deformaciones (y por lo tanto para el
cálculo de tensiones) de los cuerpos, es fundamental la elección de un sistema de referencia
para describir elmismo. En el cálculo lineal no existe distinción entre la configuración inicial
(no deformada) y la configuración temporal (o deformada) ya que las características
geométricas y mecánicas son invariantes. Ésta es la característica fundamental que diferencia
el cálculo lineal del no lineal.
Desde el punto de vista de la Mecánica de Medios Contínuos (MMC) un sólido es un
conjunto infinito departículas que ocupan una posición en el espacio. Estas posiciones son
variables en el tiempo, a la posición de todas ellas en un instante dado se le denomina
configuración.
En el desarrollo que sigue a continuación se denotan con letras mayúsculas los estados
referidos a la configuración inicial y con minúsculas los referidos a la configuración temporal
(o deformada).

P(X1, X2, X3)
u

p(x1,x2, x3)

El vector desplazamiento, Pp, vendrá dado por

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Resumen basado en ‘Fundamentals of Structural Engineering’. Keith D. Hjelmstad. Prentice Hall. 1997

A. Carnicero.

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u = Pp = xi − X I

si se conociesen los vectores posición X y x para cualquier instante, estaría perfectamente
definido el movimiento del cuerpo. EnMecánica de Medios Continuos, se supone que estas
funciones con contínuas y biunivocas, por la tanto, es posible escribir
xi = xi ( X 1 , X 2 , X 3 ) i=1,2,3

o bien,
X I = X I ( x1 , x 2 ,x 3 )

I=1,2,3

Las componentes del vector u es posible escribirlas en función de la posición inicial
(formulación lagrangiana)
U I = U I ( X 1 , X 2 , X 3 ) = xi ( X 1 , X 2 , X 3 ) − X I

o de laposición temporal (fomulación euleriana)
u i = u i ( x1 ,x 2 ,x 3 ) = xi − X I ( x1 ,x 2 ,x 3 )

(1.1)

Se podría decir que la formulación Lagrangiana se ocupa de lo que le sucede al sólido
mientras que la formulación Euleriana se ocupa de lo que le sucede a una zona del espacio.
En el caso de un ensayo de tracción se define la deformación como
ε=

l − lo
lo

Esta deformación se suelellamar deformación ingenieril y corresponde a una descripción
Lagrangiana del problema. Por el contrario, si se realiza un enfoque Euleriano del mismo
surge el concepto de deformación real como
ε=

A. Carnicero.

l − lo
l

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Como se puede ver la diferencia entre los dos estriba en comparar el alarmiento con la
longitud inicial ocon la longitud en el instante considerado.

2. GRADIENTES DE DEFORMACIÓN Y DESPLAZAMIENTO
Considérese dos puntos infinitamente próximos de un sólido sometido a un estado de
deformación. Las proyecciones de un elemento diferencial de la configuración deformada en
función de la configuración inicial son

dxi =

∂xi
∂X 1

dX 1 +

∂xi
∂X 2

dX 2 +

∂xi
∂X 3

dX 3

(1.2)

quese puede expresar matricialmente como
dx = FdX

(1.3)

donde F es la matriz jacobiana de la transformación. Esta matriz se denomina gradiente de
deformación y transforma vectores en el entorno de un punto de la configuración de
referencia a la configuración temporal,

F=

∂xi
∂X J

Sustituyendo (1.1) en (1.2) se tiene

dxi =

∂ (ui + X I )
∂X 1

dX 1 +

∂ (ui + X I )
∂X 2dX 2 +

∂ ( ui + X I )
∂X 3

dX 3

Por lo que la ecuación (1.3) se puede escribir

dx = ( I + D ) dX

de donde se deduce que el tensor gradiente de deformación se puede descomponer en suma de
dos:
F =I+D

A. Carnicero.

(1.4)

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El tensor D, recibe el nombre de gradiente de desplazamiento.

3. TENSORES DE...