Proceso De Poisson No Homogeneo

Procesos de Poisson no homogéneos
A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, λ(t). Formalmente esto significa que un Proceso de Poisson no homogéneo es un proceso de contar que satisface:
1.

2. Los incrementos en intervalos ajenos son independientes.

3.


4.

Procesode Poisson de nacimiento Puro
Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo.
Para procesos homogéneos hay una densidad media. Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo es. El tiempo entre dos sucesos deun proceso de Poisson con intensidad media es una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro.
Cuando en un proceso de nacimiento y muerte los parámetros µ 0, µ1,... son todos cero, se obtiene un proceso de nacimiento puro
La matriz de parámetros infinitesimal es tiene la forma que se muestra en la Figura, en donde, como antes, los parámetros 0, λ 1,... se conocen como las tasasinstantáneas de nacimiento. Se muestra una trayectoria de este proceso cuando inicia en el estado cero. Por construcción, el tiempo de estancia en el estado i tiene distribución exponencial con parámetro λ i.
Las probabilidades de saltos son evidentemente p ij= 1 cuando j=i+1, y cero encaso contrario. Puede demostrarse que los incrementos de un proceso de nacimiento puro son independientes perono son necesariamente estacionarios.
Un proceso de nacimiento puro puede también definirse mediante las siguientes probabilidades infinitesimales: Cuando h→0,

En general no es fácil encontrar una fórmula para las probabilidades de transición pij(t), sin embargo cuando el estado inicial es el cero se conoce la siguiente fórmula recursiva.

Proceso de Nacimiento y Muerte
Relajando lahipótesis sobre la tasa λ, (intensidad) constante, a una situación más realista, en la que la tasa de llegadas λ depende del estado en que se encuentra el proceso (λ n) se tiene el Proceso de Nacimiento Puro que se caracteriza como
 Proceso de Conteo.
 Proceso de incrementos independientes y estacionarios
 Verificando
P(Xt+h = n + 1/Xt = n) = λnh + o(h)
P(Xt+h ≥ n + 2/Xt = n) = o(h)
De dondeP(Xt+h = n/Xt = n) = 1 - λnh + o(h)
Admitiendo además la existencia de posibles transiciones a estados anteriores según tasa dependiente del estado del proceso (µn), se obtiene el Proceso de Nacimiento y Muerte:

De donde:
En forma matricial, en términos de la matriz Q (generador infinitesimal del proceso) o matriz de tasas





Cadena de Markov discreta
Un proceso estocástico entiempo discreto es una Cadena de Markov en la medida que se verifiquen las siguientes propiedades:


Propiedad Markoviana
Un proceso estocástico tiene la propiedad Markoviana si las probabilidades de transición en un paso sólo dependen del estado del sistema en el período anterior (memoria limitada)



Propiedad Estacionaria
La probabilidad:
No depende de la etapa n. Por ejemplo, laprobabilidad de pasar del estado i al estado j será siempre la misma no importando el número de la etapa.
Si consideramos que la variable aleatoria asociado a este proceso markoviano toma un número finito de estados (digamos M) las probabilidades de transición de un estado a otro se pueden resumir en una matriz P denominada matriz de transición de probabilidades en una etapa. Adicionalmente siconocemos la distribución de probabilidad para la etapa inicial (que denotamos por f0) estamos en condiciones de conocer el proceso estocástico, que consiste en determinar la distribución de probabilidad en cada etapa.

Clasificación de estados

Clasificación de estados en Cadenas de Markov
Estado Alcanzable:
El estado j es alcanzable desde el estado i si existe n > 0 tal que p(n)i,j > 0 ;...