Proceso de walton watson

Revista Colombiana de Estad´ ıstica Volumen 24 (2001) No 1, p´ginas 13 a 26 a

PROCESO DE GALTON-WATSON
Raydonal Ospina Mart´ ınez.
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Resumen Se presenta una s´ ıntesis de las principales caracter´ ısticas que se incluyen al realizar un an´lisis del proceso de Galton-Watson: el tiempo a de extinci´n del proceso, los resultados asint´ticos para los casos cr´ o o ıtico, subcr´ ıtico ysupercr´ ıtico, la estimaci´n por m´xima verosimilitud del proo a medio de reproducci´n y la construcci´n de algunas variables aleatorias o o simuladas para verificar su comportamiento normal asint´tico. o Palabras Claves: Procesos de ramificaci´n, proceso de Galton-Watson, o promedio de reproducci´n, estimaci´n, simulaci´n. o o o Abstract A synthesis of the practical theoretical main results is presentedthat involves the analysis of the process of Galton-Watson; as they are the results asympotycs for the cases critical subcritical and supercritical, the time of extinction of the process, the estimate of the reproduction average way maximum likelihood and the construction of some random variables which were simulated to verify their behavior normal asymptotically. Key Words: Branching processes,Galton-Watson process, mean of reproduction, estimation, simulation.

* Universidad Nacional de Colombia. Departamento de Matem´ticas y Estad´ a ıstica. Bogot´a Colombia. Email: or161365@eudoramail.com

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Raydonal Ospina Mart´ ınez

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Introducci´n o

En la poblaci´n colombiana existen algunas comunidades ind´ o ıgenas aisladas, localizadas en zonas de la regi´n Amaz´nica yde la Sierra Nevada de Santa o o Marta principalmente. Estas comunidades poseen una gran riqueza cultural que proviene de muchos a˜os de experiencia y del intercambio de conocimiento, n generaci´n tras generaci´n. o o El devenir de los tiempos ha ocasionado que dichas comunidades sean des plazadas y sometidas a cambios estructurales a nivel sociocultural y en su medio ambiente. Cabe entoncespreguntarse ¿Es posible que sucumban a los cambios generacionales? ¿Est´n en peligro de extinci´n? ¿Si est´n en peligro de a o a extinci´n, en qu´ momento se esperar´ que se extinguieran? ¿Es posible que o e ıa crezcan? Existen algunos modelos matem´ticos que bajo ciertas condiciones podr´ a ıan responder a algunas de estas preguntas. Entre dichos modelos se encuentran los denominados Procesos deRamificaci´n,usados frecuentemente en biolog´ o ıa y f´ ısica nuclear. Los procesos de ramificaci´n permiten describir el desarrollo o de una poblaci´n compuesta por miembros denominados tambi´n individuos o o e part´ ıculas. Se asume que ´stos se desarrollan independientemente unos de otros e y de la historia del proceso. El proceso de ramificaci´n m´s simple, es el de Galton-Watson, el cual tiene o a uningrediente particular, y es el uso de la teor´ de probabilidad y los procesos ıa estoc´sticos. a Los primeros indicios sobre el uso de los procesos de ramificaci´n se encueno tran en el siglo XVIII en el famoso libro de tres vol´menes del investigador u Thomas Malthus, titulado Essay on the Principles of Populations, en el cual se plantea que una poblaci´n no controlada deber´ crecerexponencialmente. o a Malthus relata que en un pueblo de Berna, de las 487 familias burguesas existentes, 379 se extinguieron en el lapso de dos siglos (1583-1783). El primero en tratar de explicar el fen´meno relatado por Malthus fue el matem´tico franc´s o a e I. J. Bienaym´ (1796-1878). Aunque no hay constancia escrita, parece ser que e Bienaym´ relacion´ correctamente la probabilidad de extinci´n con elpromedio e o o de hijos varones de cada individuo. Independientemente de Bienaym´, el matem´tico Ingl´s Sir Francis Galton e a e (1822-1911) formul´ el problema de extinci´n de una manera m´s general al o o a suponer que en una poblaci´n, el n´mero de hijos de cada individuo x es una o u variable aleatoria ξx con distribuci´n denotada p := (pn )n∈N , siendo pn := o “probabilidad de tener n hijos”...