Proceso Poisson
ıtulo 4
Procesos de Poisson
4.1.
Distribuci´n Exponencial
o
Definici´n 4.1 Una variable aleatoria T tiene distribuci´n exponencial con par´metro λ, T ∼ Exp(λ),
o
o
a
si su funci´n de distribuci´n est´ dada por
o
o
a
FT (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt ,
para t ≥ 0.
Equivalentemente, T tiene densidad fT (t) dada por
λe−λt
0
fT (t) =
para t ≥ 0,
para t < 0.
Estadistribuci´n tiene el siguiente valor esperado:
o
∞
∞
E[T ] =
tfT (t)dt =
−∞
−λt
= − te
tλe−λt dt
0
∞
0
∞
+
e−λt dt =
0
1
.
λ
2
De manera similar podemos calcular E[T ] integrando por partes,
E[T 2 ] =
∞
∞
t2 fT (t)dt =
−∞
= −t2 e−λt
t2 λe−λt dλ
0
∞
0
∞
+
2te−λt dt =
0
2
.
λ2
Por lo tanto, la varianza de Tes
Var(T ) = E[T 2 ] − (E[T ])2 =
4.1.1.
1
.
λ2
Falta de Memoria
Una de las propiedades fundamentales de la distribuci´n exponencial es la siguiente:
o
P (T > t + s|T > t) = P (T > s).
Para demostrar esta propiedad usamos la definici´n de probabilidad condicional
o
P (T > t + s|T > t) =
e−λ(t+s)
P (T > t + s)
=
= e−λs = P (T > s).
P (T > t)
e−λt
CAP´
ITULO 4.PROCESOS DE POISSON
110
4.1.2.
M´
ınimo de Variables Exponenciales
Sean S ∼ Exp(λ) y T ∼ Exp(µ) variables independientes. Tenemos en primer lugar
P (min(S, T ) > t) = P (S > t, T > t)
= P (S > t)P (T > t) = e−(λ+µ)t ,
es decir, min(S, T ) tiene distribuci´n exponencial de par´metro λ + µ. El mismo c´lculo muestra que para
o
a
a
una colecci´n de variables independientes T1 , . . . , Tncon Ti ∼ Exp(λi ), 1 ≤ i ≤ n,
o
P (min(T1 , . . . , Tn ) > t) = P (T1 > t, . . . , Tn > t)
n
=
n
e−λi t = e−(λ1 +···+λn )t
P (Ti > t) =
i=1
(4.1)
i=1
En consecuencia, el m´
ınimo de varias variables independientes con distribuciones exponenciales tiene
distribuci´n exponencial con par´metro igual a la suma de los par´metros.
o
a
a
Veamos ahora con qu´ probabilidaduna variable exponencial es menor que otra:
e
∞
P (T > S) =
P (T > s|S = s)fS (s)ds
0
=
∞
λe−λs e−µs ds =
0
=
∞
λ
λ+µ
(λ + µ)e−(λ+µ)s ds
0
λ
.
λ+µ
Para varias variables, el resultado es el siguiente
P (Ti = min(T1 , . . . , Tn )) = P (Ti < T1 , . . . , Ti < Ti−1 , Ti < Ti+1 , . . . , Ti < Tn )
λi
=
.
λ1 + · · · + λn
Para demostrar esta propiedadllamemos S = Ti y sea U el m´
ınimo de Tj , j = i. Por (4.1) sabemos que
U es exponencial con par´metro µ = (λ1 + · · · + λn ) − λi . Usando el resultado para dos variables
a
λi
λi
=
.
λi + µ
λ1 + · · · + λn
P (Ti = min(T1 , . . . , Tn )) = P (S < U ) =
Sea I el ´
ındice (aleatorio) de la menor de las variables exponenciales, hemos demostrado que
P (I = i) =
λi
.
λ1 + · · · +λn
Lema 4.1 I y V = min(T1 , . . . , Tn ) son independientes.
Demostraci´n. Calculamos la siguiente probabilidad conjunta
o
∞
P (I = i, V > t) = P (Ti > t, Tj > Ti para j = i) =
∞
=
t
=
∞
e−λj s ds = λi
λi e−λi s
P (Tj > s para j = i)fTi (s)ds
e−s(
j
λj )
ds
t
j=i
λi
e−t(
λ1 + · · · + λn
t
j
λj )
= P (I = i)P (V > t).
Veamos acontinuaci´n c´mo se distribuye una suma de exponenciales.
o o
´
4.2. LA DISTRIBUCION DE POISSON
111
Teorema 4.1 Sean T1 , T2 , . . . v.a.i.i.d. con distribuci´n exponencial de par´metro λ. La suma τn =
o
a
T1 + · · · + Tn tiene distribuci´n Γ(n, λ), es decir, la densidad est´ dada por
o
a
fτn (t) = λe−λt
(λt)n−1
(n − 1)!
para t ≥ 0
y 0 en otro caso.
Demostraci´n. Haremos laprueba por inducci´n. Para n = 1, τ1 = T1 tiene distribuci´n exponencial
o
o
o
de par´metro λ, que concuerda con la densidad de la f´rmula anterior.
a
o
Supongamos ahora que la f´rmula es cierta para n. Tenemos τn+1 = τn + Tn+1 y por independencia
o
t
P (τn+1 ≤ t) =
P (τn + Tn+1 ≤ t|τn = s)fτn (s)ds
0
t
=
0
P (Tn+1 ≤ t − s))fτn (s)ds
Usamos ahora la distribuci´n...
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