Procesos Aleatorios

Capítulo IV

IV

Procesos aleatorios

Definiremos proceso aleatorio a toda experiencia que genere una secuencia de valores
modelizables como variables aleatorias. Cada experiencia individual tiene un posicionamiento, o sea
un orden en la experiencia global.
También pode mos decir que una serie ordenada de experiencias individuales genera una
experiencia global que denominamos procesoaleatorio.
Un proceso es llamado discreto cuando el resultado de la experiencia es una sucesión, tiene un
orden en relación con los números naturales.
Un proceso es continuo, en cambio, cuando el ordenamiento está relacionado con los números
reales.
Un proceso puede clasificarse como:
• continuo de variable continua
• continuo de variable discreta
• discreto de variable continua
• discretode variable discreta
Ejemplos:
Proceso continuo de variable continua: el crecimiento de las personas.
A ltura
Fu nción densid ad d e
las personas de 15 años

5

0

10

15

20

T iem po (años)

Proceso continuo de variable discreta: la situación de encendido o apagado de una lámpara.
Fu nción de probab ilida d d e
la situación de la lám pa ra

E ncendida
1

0

1

23

4

5

T iem po (horas)

Proceso discreto de variable continua: temperatura máxima de cada día.
Tem peratura (ºC )

Fu nción densid ad de la
tem p eratu ra m áxim a del día 6

30
20
10
0

123

6

10

D ía

Proceso discreto de variable discreta: cantidad de pasajeros en cada ómnibus que llega.
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Estimación Bayesiana

C antida d d e
pasajeros

Fu nción deprobab ilid ad d e
la cantidad m áxim a de
pasajeros en el om nibus
nº 5

20
18
16
0

1

2

3

4

5

6

7

8

N º óm nibu s

En un proceso el resultado de la experiencia es la función o sucesión donde la variable
aleatoria está ordenada por alguna variable secuenciadora (en un proceso discreto son los números
naturales; en un proceso continuo, los reales).
El conjunto delas sucesiones posibles genera el espacio muestral.
Por ejemplo: la temperatura máxima diaria es una variable aleatoria continua (valor variable
para un determinado día), su secuencia de n v alores es un proceso aleatorio discreto.
La lectura de un año (los 365 valores ordenados) es el resultado de la experiencia definida
como una secuencia de 365 variables.
Tem peratura
m áxim a

0

Año 1
A ño 2
A ño 3

123

21 de sep 3 6 5 D ías

Lo importante es entender que para cada “posición” (número de orden en un proceso discreto o
valor de la variable secuenciadora en un proceso continuo) queda definida una variable aleatoria.
Para el caso anterior: la temperatura máxima de los 21 de septiembre es una variable
aleatoria; tendrá su función densidad, media, variancia, etc.
Aesta variable la llamaremos variable posicionada.

4.1. LOS PROCESOS CONSTANTES
Cuando en una secuencia todas las variables posicionadas son iguales (tienen la misma
función de distribución) e independientes, estaremos frente a un proceso constante.

4.1.1. EL PROCESO BERNOULLI
Llamaremos variable Bernoulli :
1 − p para b = 0

P ( BER = b) =  p
para b = 1
0
para cualquier otrovalor


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Capítulo IV

P (B E R = b)
p

(1 - p )

0

b

1

Para valores del parámetro p: 0 ≤ p ≤ 1 aplicando las definiciones correspondientes resulta:
media: µ BER = p

v ariancia: σ2BER = p (1 – p)

Una secuencia de resultados de una variable posicionada Bernoulli generará bajo condición de
independencia y constancia, un proceso aleatorio Bernoulli.
A este procesoBernoulli están asociadas diversas variables aleatorias que analizaremos.
Es frecuente llamar al suceso {BER = 1} el éxito, luego p será la probabilidad de éxito para
cada experiencia (recuerde que hay constancia e independencia).
En este proceso el valor i (i-ésima experiencia) es la variable secuenciadora.
E : éxito
E : no éxito (fracaso)
E
1

E
2

E
3

...

E
i

...

E
n...