PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE



PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE





LAURA VICTORIA RANGEL HORMIGA
ZULY KATERINE LAGOS NEIRA




TRABAJO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II
PRESENTADO A:
JAVIER ARIAS OSORIO





UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE ESTUDIOS INDUSTRIALES Y EMPRESARIALES
2013

PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE

1. DEFINICION:
REFERENTE A CADENAS DE MARKOV.
El proceso de nacimiento y muerte es untipo especial de cadenas de Markov de tiempo continuo.
El Procesos de Nacimiento y Muerte (PNM) modela el tamaño de una población como el proceso estocástico X = (Xt)t∈IR+ (de estados discreto, tiempo continuo)
Todo pasa como si llegando a un estado j, el proceso tiene dos "relojes" independientes y exponenciales Nj y Mj, de tasa respectivas λj y µj.
Si el reloj N suena primero (i.e., si N =min{M, N}), entonces hay un “nacimiento” y el proceso pasa al estado j + 1.
sino, hay una “muerte” y el proceso pasa al estado j − 1.
Cambiando de estado, dos nuevos relojes son lanzados, para definir la duración de la estadía en este nuevo estado y el estado siguiente.

El Procesos de Nacimiento y Muerte (PNM) X de parámetros ((λm)m≥0,(µn)n≥1,(αi)i∈IN) es la familia de v.a. X = (Xt)t∈IR+ construida dela siguiente forma:
X0 sigue la distribución (αi): P(X0 = j) = αj.
Supongamos X0 = j. El proceso se queda en el estado j un tiempo aleatorio, de distribución Exponencial(λj + µj).
Después de su estadía en el estado j, el proceso cambia instantáneamente de estado. Entonces,
*si j = 0, el próximo estado es el estado 1;
*sino, el próximo estado se escoge aleatoriamente entre j −1 y j +1, de formaindependiente de otro acontecimiento pasado o futuro, con las probabilidades respectivas:


Sea Tn el n-ésimo instante del salto de X. Entonces, por convención, entonces XTn = XT+n (i.e., trayectorias continuas a la derecha).

Grafo asociado a un PNM


Dados los dos conjuntos (λm)m≥0 y (µn)n≥1 de reales positivos, hay dos casos interesantes solamente

(i) ∀m ≥ 0, λm > 0 y ∀n ≥ 1, µn > 0,

(ii)si existe H > 0 tal que para m = 0, 1, . . . , H − 1, λm > 0, para m ≥ H, λm = 0, para n = 1, 2, . . . , H, µn > 0 y µn = 0 para todo n > H.

Respecto a la distribución inicial, (αi)i∈IN sobre los enteros positivos, en el caso (ii), hace falta que



REFERENTE A TEORIA DE COLAS
En el contexto de teoría de colas, el termino de nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema decolas y el termino muerte se refiere a las salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t , denotado por N(t), es el numero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en terminos probabilisticos como cambia N(t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria,donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera mas precisa las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:

Suposicion 1. Dado N(t)= n, la distribucion de probabilidad actual del tiempo que falta para el proximo nacimiento (llegada) es exponencial con parametro λn , (n=0,1,2,…).

Suposicion 2. Dado N(t)=n, la distribucion de probabilidadactual del tiempo que falta para la proxima muerte (terminacion del servicio) es exponencial con parametro µn (n=1,2,…).

Suposicion 3. La variable aleatoria de la suposicion 1 (el tiempo que falta hasta el proximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposicion 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transicion del estado del procesoes:

n → n + 1 Un solo nacimiento
n → n – 1 Una sola muerte,
dependiendo de cual de las dos variables es mas pequeña.
Como consecuencia de la suposicion 1 y 2 el proceso de nacimiento y muerte se considera una cadena de Markow de tiempo continuo.


Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte

Las flechas en este diagrama muestran las unicas transiciones posibles en el...