Procesos estacionarios y no estacionarios.

1. Procesos estacionarios y no estacionarios.

Un proceso estocástico es una colección o familia de variables aleatorias. Ejemplos de eventos que pueden ser considerados procesos estocásticos son los resultados sucesivos de tirar una moneda, el precio de cierre de una determinada acción, los ingresos de una empresa determinada etc. Cuando se lanza una moneda no se sabe si caerá cara (que serádenotada mediante C) o ceca (T), de la misma manera que tampoco se conoce en forma anticipada el precio de cierre de una cierta acción. Los resultados particulares pueden ser múltiples, de hecho infinitos y cada resultado particular constituye lo que se denomina una realización del proceso. Así, por ejemplo la sucesión CCTC representa una realización del proceso “tirar cuatro veces una moneda”,la realización CTTC representa otra, la sucesión 2; 2,10; 2,05; 2,05 representa una realización del proceso ”precio de cierre de la acción XX”, etc.

En particular los procesos estocásticos que se desarrollan en el tiempo, en los que el tiempo es el índice del proceso, se suelen denominan series cronológicas o series de tiempo y en lo que sigue, a menos que se indique lo contrario, el tiemposerá, por lo general, el conjunto índice de referencia.

Como se ha señalado, en cada punto del tiempo los procesos estocásticos pueden tener múltiples realizaciones de modo que ellos se desenvuelven en dos espacios: el del tiempo (o si se prefiere el del conjunto índice) y el de las variables aleatorias donde se manifiestan las realizaciones. En el ejemplo de las monedas se consignaron dosrealizaciones en el espacio de las variables aleatorias W.
El tiempo será denotado mediante t que es un elemento del conjunto T y será representado en la recta real, de manera sintética, T = { t / - ∞< t < ∞} y el espacio de variables aleatorias W posee elementos que serán denotados mediante w, es decir: W ={ w/- ∞< w < ∞}y será representado en el eje de ordenadas.

A modo de ejemplo se presentarán dosrealizaciones del proceso estocástico “lanzar cuatro veces una moneda”. Se supondrá que se trata de un juego donde uno gana $1 si sale cara y pierde $1 si sale ceca, que la riqueza inicial del jugador es $10 (con probabilidades simétricas, es decir iguales a 0,5) y que las realizaciones son TTCT y CCCT.

Si la realización es TTCT, en términos de ingresos es: -1, -1, 1, -1 y en términos deriqueza es 10, 9, 8, 9, 8. Estos valores pueden ser representados en el espacio de las variables aleatorias y corresponden a los puntos 0, 1, 2, 3 y 4 del tiempo respectivamente.

A cada una de las realizaciones posibles de la variable aleatoria le corresponde una cierta probabilidad que, en este caso, puede ser obtenida mediante la distribución binomial.

En este ejemplo tanto el tiempo como elespacio de variables aleatorias fue discreto ya que la binomial es una variable aleatoria discreta, pero ambos pueden ser continuos o puede que uno sea continuo y el otro discreto. En lo que sigue el tiempo será discreto medido por días, meses, trimestres o años y el espacio de las variables aleatorias muchas veces será continuo ya que se utilizará en gran medida la distribución normal.

Tambiénen el ejemplo anterior se consideró solo un proceso “lanzar cuatro veces una moneda” correspondiente a un único jugador que lo hace contra un contrincante, un ejemplo extraído de la economía, es cuando se considera individualmente la producción de cemento o la de acero, etc. Estos procesos se denominan univaluados o univariados. Pero puede suceder que se consideren en forma conjunta, como porejemplo la producción de cemento, la de acero y el producto bruto interno, la riqueza correspondiente a 3 jugadores,etc.; en estos casos se trata de procesos multivaluados o multivariados y se verá que son importantes las relaciones mutuas entre los procesos. En una primera etapa se considerarán procesos o series de tiempo individuales o univaluadas.

Los procesos estocásticos en general y las...