Procesos estocasticos

UNIVERSIDAD EL BOSQUE
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
MONICA GUTIERREZ
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02 DE MARZO DE 2011

PROCESOS ESTOCASTICOS

DEFINICIÓN
La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinanticas, esto es, de carácter aleatorio.
Laforma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una variable aleatoria a lo largo del tiempo.

Para que un proceso estocástico esté completamente definido hay que determinar completamente las variables aleatorias, es decir, determinar e identificar la distribución deprobabilidad asociada a cada una de ellas y, es más, la distribución conjunta de todas ellas.

Ejemplos:
* Xt: número de personas que esperan un autobús en un instante t donde t ∈ [9, 10]
* Xt: precio de una acción de una empresa en un día t del mes (t = 1, 2, . . . , 30).
* Xt: número de parados en el mes t (t = 1, 2, . . . , 12).

CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS

Se puedenclasificar según
1. La estructura del conjunto paramétrico T y del conjunto de estados E.
2. Las características probabilísticas de las variables aleatorias

1. Clasificación según la estructura de T y E.
Los procesos estocásticos se pueden clasificar en cuatro tipos, dependiendo de si T es un conjunto numerable o continuo, y de si E es otro conjunto numerable o continuo. Así:

E /T | DISCRETO | CONTINUO |
DISCRETO | Cadena | Proc. Puntual |
CONTINUO | Suc. de v.a | Proc. Continuo |

Ejemplos:
1. Cadena. Supongamos un sistema hidraúlico con una válvula de seguridad que se revisa diariamente. Esta válvula presenta tres posibles estados: correcto, incorrecto y deteriorado. De este modo se puede definir el proceso como Xn ≡ Estado en el que se encuentra la válvulaen el día n
2. Proceso Puntual. Un autobús escolar tiene capacidad para k personas. Si en una parada hay k o menos personas esperando, entonces todas subirán al autobús. Si no es así, subirán las k primeras quedando el resto de personas en espera. Se define, entonces, Xt ≡ número de personas esperando en la parada en un instante de tiempo t. Se pueden plantear asuntos como minimizar eltiempo medio de espera, o reducir el número de personas esperando
3. Sucesión de v.a. Una empresa petrolífera debe decidir cuánto petróleo extrae al mes para maximizar los beneficios. Se define, entonces, Xn ≡ Cantidad de petróleo a extraer en el mes n.
4. Continuo. En la ventanilla de un banco se contabiliza el tiempo de espera de un cliente que llega en un instante t. Se puede definir Xt ≡Tiempo de espera de un cliente que llega en el instante t. Esto está relacionado con la Teoría de Colas. Interesa, por ejemplo, minimizar el tiempo de espera o estudiar la distribución de Xt.

2. Clasificación según las características probabilísticas de las v.a.
En la vida real se producen distintas relaciones entre las variables aleatorias que constituyen un proceso estocástico. Porejemplo, la ganancia monetaria obtenida en la tirada n-ésima dependerá obviamente de la ganancia obtenida en la tirada (n − 1)-ésima. Las propiedades probabilísticas las v.a. son importantes a la hora de identificar y clasificar un proceso estocástico.
Se pueden clasificar los procesos en
1. Procesos estacionarios.
2. Procesos de incrementos independientes.
3. Procesos Markovianos.1. Procesos Estacionarios.
Intuitivamente, un proceso estacionario es aquel que, a lo largo del tiempo, mantiene sus características estadísticas.

Ejemplo:
Si se sintoniza un receptor de FM en un canal libre, se oye un ruido de fondo. Ese ruido de fondo suena siempre igual. No cambia de volumen ni de sonido con el tiempo, ni a lo largo del día.

2. Procesos de incrementos independientes...