Procesos estocasticos

La probabilidad condicional, P[A/B], de un evento A dado que a ocurrido un evento B es dada por:



EJEMPLO 1

Una bola se selecciona al azar de una urna que contiene 2 bolas negras, numeradas con 1 y 2; y dos bolas blancas, numeradas con 3 y 4.

Se tiene el espacio muestra:

Determine la probabilidad P[A/B] y P[A/C], donde A, B y C se definen como:



 
SoluciónEjemplo 2

Una bola sse selecciiona al azar de una urna que contiene 2 bolas negras y 3 blancas. determinar la probabilidad de A/B y B/C si se tienen los siguientes condiciones:

A= {(1n,2n)}
B= {2n, 4b)}
C= {3b,5b)}

P(A/B) = .20/.40 = 0.5



P(B/C)= 0/.40= 0

Teorema de Bayes

Suponga que B1, B2, … Bn es una partición de un espacio muestra S.

Suponga que el evento A ocurreEjemplo:

Considere el sistema de comunicación binario.







Eventos Independientes

Si se conoce la aparición de un evento B y este no altera la probabilidad de algún otro evento A, entonces el evento A es independiente del B.

Esto sucede cuando

Dos eventos A y B son independientes si



EJEMPLO

Una bola se selecciona de una urna que contiene 2bolas negras, numeradas con 1 y 2; y dos bolas blancas, numeradas con 3 y 4.



Suponga los siguientes conjuntos:

A={(1,n), (2,n)}, seleccionar bolas negras.
B={(2,n), (4,b)}, seleccionar números pares.
C={(3,b), (4,b)}, número mayor a 2.

a) Los eventos A y B ¿Son independientes?
b) Los eventos A y C ¿Son independientes?

Solucion
a)

P[A]=2/4=1/2.
P[B]=2/4=1/2.P[AÇB]=P[{(2,n)}]=1/4.

b) Los eventos A y C no son independientes, dado que


Esta última ecuación indica que si se presenta el evento C, entonces nunca se presenta el evento A.

Ejemplo:

En un sistema de comunicación binario se transmiten los simbolos m1 y m2.
El ruido ocaciona que m0 sea interpretado como m1 y viceversa.

r0 y r1 denotan los eventos de recibido un 0 o un 1. Sesabe que:

p(m0)= .5
p(r1/m0)=p=.1
p(r0/m1)=q=.2

Determine
a) p(r0) y p(r1)
b) si se recibió 1, probabilidad de que se haya enviado 1
c) Probabilidad de error

Solución:

p(r0)=p(m0)*p(r0/m0)+(p(m1)*p(r0/m1)
p(m1)=1-p(m0)= 0.5

p(r0/m0)+p(r1/m0)=1-p(r1/m0)
p(r0/m0)=0.9

a)
p(r0)= (0.5*0.9)+ (0.5*0.2)= 0.55
p(r1)= 0.45

b) p(m1/r1)=[p(r1/m1)*p(m1)]/p(r1)= 0.88

c) p(e)=p(m0)*p(r1/m0)+p(m1)*p(r0/m1)= 0.15

Ley de probabilidad binomial

Un experimento de Bernoulli consiste en llevar a cabo un experimento y anotar si se presenta un evento particular A. El resultado de dicho experimento se dice que es favorable si se presenta el evento A; de otra manera es no favorable.

La probabilidad de k eventos en un experimento de Bernoulli es igual a la probabilidad detener k unos en una palabra binaria de n bits. P[{0}]=1-p y P[{1}]=p




La variable aleatoria Geometrica

La variable aleatoria geometrica no tiene memoria:


Si un evento favorable no a sucedido en los primeros j intentos, entonces la probabilidad de tener que ejecutar otros k intentos, es la misma que la probabilidad de haber efectuado inicialmente k intentos.

Se utilizaen aplicaciones en donde interesa el tiempo que transcurre entre un evento y otro en una secuencia de experimentos independientes.

La variable aleatoria de Poisson

Se utiliza para contar la cantidad de eventos que se presentan durante un periodo de tiempo o en cierta región del espacio.

Surge en eventos aleatorios en espacio y tiempo:
- Conteo de emisiones radiactivas- Demanda de conexiones telefonicas
- Conteo de defectos en CI, etc.



• Aproximación binomial

Si n es grande y p pequeña, entonces a=np, y


Ejemplo

La probabilidad de que un bit sea deteriorado por el ruido del canal en un sistema de comunicación es de 10-3. Determine la probabilidad de que una secuencia de 1000 bits tenga cinco o más errores.

Solución

La...