Procesos estocasticos

´ ´ Introduccion a los Procesos Estocasticos
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2011-01
´ Gustavo Inouye Arevalo ´ ´ Introduccion a los Procesos Estocasticos () Marzo 2010 1 / 23

´ Introduccion
´ Se denomina proceso estocastico a toda variable que evoluciona a lo largo del tiempo de forma total o parcialmente aleatoria. Un ejemplo ˜ı ´ claro son el precio de las acciones de una compan´a, su variacion es parcialmentedetermin´stica y parcialmente aleatoria. ı

Figura: ´ndice Dow Jones desde el 11-04-05 hasta el 05-04-10 (Bolsa de I New York) [Fuente: Yahoo Finance]
´ Gustavo Inouye Arevalo ´ ´ Introduccion a los Procesos Estocasticos () Marzo 2010 1 / 23

´ Introduccion

˜ı Figura:ADR Compa n´a Buenaventura, datos desde el 11-04-05 hasta el 05-04-10 [Fuente: Yahoo Finance]

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´ Procesos Estocasticos
´ ´ Un proceso estocastico describe la evolucion temporal de una variable aleatoria. ´ Tipos de procesos estocasticos: ´ Con respecto a su evolucion temporal :
De tiempo discreto: Aquel en el que la variable puede cambiar de valor unicamente en instantes concretos del tiempo(por ejemplo, ´ lossorteos de la loter´a tienen lugar en determinadas fechas). ı De tiempo continuo: Aquel en el que la variable puede cambiar de valor en cualquier instante del tiempo(la temperatura, por ejemplo).

Con respecto a la naturaleza de la variable aleatoria:
´ De variable discreta: Aquel en el que la variable solo puede tomar determinados valores discretos(los mercados financieros cotizan ´ sus activos conunos precios que oscilan: de centimo de euro en ´ centimo de euro, o en 1/8 de punto, etc). De variable continua: Aquel en el que la variable puede tomar cualquier valor comprendida en un rango (la temperatura, por ejemplo).
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´ ´ Nuestro objetivo sera deducir un proceso estocastico de variable continuay en tiempo continuo adecuado para describir el ´ comportamiento de variables economico financieras (precios de las ´ acciones, rendimientos de activos, tipos de interes,etc).

´ Gustavo Inouye Arevalo

´ ´ Introduccion a los Procesos Estocasticos ()

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´ ´ Expresion anal´tica de un proceso estocastico ı
Sabemos que el comportamiento de una variable aleatoria se ´describe mediante una adecuada distribucion de probabilidad. En ´ un proceso estocastico el comportamiento de la variable aleatoria ´ considerada var´a en el tiempo. Por tanto, la distribucion de ı ´ ´ probabilidad utilizada para describirla tambien podra variar en el tiempo. ´ Para describir el proceso estocastico que sigue una variable ´ aleatoria temporal xt , deberemos indicar en cada instante tcual ´ es la distribucion de probabilidad asociada a xt .

´ Gustavo Inouye Arevalo

´ ´ Introduccion a los Procesos Estocasticos ()

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´ ´ Expresion anal´tica de un proceso estocastico ı
Sabemos que el comportamiento de una variable aleatoria se ´ describe mediante una adecuada distribucion de probabilidad. En ´ un proceso estocastico el comportamiento de la variablealeatoria ´ considerada var´a en el tiempo. Por tanto, la distribucion de ı ´ ´ probabilidad utilizada para describirla tambien podra variar en el tiempo. ´ Para describir el proceso estocastico que sigue una variable ´ aleatoria temporal xt , deberemos indicar en cada instante t cual ´ es la distribucion de probabilidad asociada a xt .

Ejemplo
´ Consideremos el procesos estocastico xT dadopor: xT ∼ N (x0 + µT, σ 2 T ), x0 , µ, σ constantes conocidas. ´ En un instante final de tiempo T , xT sigue una distribucion de 2T probabilidad de media x0 + µT y de varianza σ
´ Gustavo Inouye Arevalo ´ ´ Introduccion a los Procesos Estocasticos () Marzo 2010 5 / 23

´ ´ Cuando se esta modelizando un fenomeno real, resulta dif´cil ı ´ establecer directamente cual va ser la distribucion de...