Procesos estocasticos

Introducci´n a los o ´ PROCESOS ESTOCASTICOS
Luis Rinc´n o Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 M´xico DF e Versi´n: Enero 2011 o

Una versi´n actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato o electr´nico en la direcci´n o o http://www.matematicas.unam.mx/lars

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Pr´logo o
El presente texto contiene material b´sico entemas de procesos estoc´sticos a nivel a a licenciatura. Est´ dirigido a estudiantes de las carreras de matem´ticas, actuar´ a a ıa, o matem´ticas aplicadas y otras carreras afines. Este trabajo es una versi´n ampliada a de las notas de clase del curso semestral de procesos estoc´stico que he impartido a en la Facultad de Ciencias de la UNAM a alumnos de las carreras de actuar´ y ıa matem´ticas. aLos temas tratados en este texto corresponden a ciertos modelos cl´sicos de la a teor´ de los procesos estoc´sticos, y a ciertas preguntas o problemas matem´ticos ıa a a que uno puede plantearse al estudiar tales modelos. El texto inicia con una explicaci´n del concepto de proceso estoc´stico y con algunas definiciones y ejemplos o a generales de este tipo de modelos. A manera de un acercamientoinicial se presenta primero una introducci´n breve al tema de caminatas aleatorias en una dimensi´n, o o y particularmente se analiza el problema de la ruina del jugador. En el segundo cap´ ıtulo se estudian cadenas de Markov a tiempo discreto y despu´s se estudia el e mismo tipo de modelo para tiempos continuos, para ello se presenta primero el proceso de Poisson. Se estudian despu´s los procesosde renovaci´n, y brevemente e o tambi´n la teor´ de la confiabilidad. Se presenta despu´s una introducci´n a la e ıa e o teor´ de martingalas a tiempo discreto, en donde se estudian solo algunos de sus ıa muchos resultados y aplicaciones. Se incluye adem´s una introducci´n al movimiena o to Browniano. El texto finaliza con una exposici´n compacta y ligera del c´lculo o a estoc´stico de Itˆ. Elmaterial completo excede lo que regularmente es impartido a o en un curso semestral, y una selecci´n adecuada de temas ser´ necesaria. Cada o a cap´ ıtulo contiene material que puede considerarse como introductorio al tema. Al final de cada uno de ellos se proporcionan algunas referencias para que el lector pueda precisar o profundizar lo que aqu´ se presenta. ı El texto contiene una colecci´n deejercicios que se han colocado al final de cada o cap´ ıtulo, y se han numerado de manera consecutiva a lo largo del libro. Se incluyen tambi´n sugerencias o soluciones de algunos de estos ejercicios. A lo largo de la e exposici´n el lector encontrar´ tambi´n algunos otros ejemplos y ejercicios, los o a e cuales son particularmente utiles para el estudiante autodidacta, o para presentar ´ en clase si seadopta alguna parte de este texto como material de estudio en alg´ n u curso.
A Este material fue escrito en L TEX, las gr´ficas fueron elaboradas usando el excelente a

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paquete Pstricks, y las fotos fueron tomadas del archivo MacTutor (http://wwwhistory.mcs.st-and.ac.uk/) de la universidad de St. Andrews en Escocia. La mayor parte de este trabajo fue elaborado mientras realizaba unaestancia sab´tica en a la universidad de Nottingham durante el a˜o 2007, y agradezco sinceramente al n Prof. Belavkin su amable hospitalidad para llevar a cabo este proyecto, y a la DGAPA-UNAM por el generoso apoyo econ´mico recibido durante esa agradable o estancia. Agradezco sinceramente todos los comentarios, correcciones y sugerencias que he recibido por parte de alumnos y profesores para mejorareste material. Toda comunicaci´n puede enviarse a la cuenta de correo que aparece abajo. o Luis Rinc´n o Enero 2011 Ciudad Universitaria UNAM lars@fciencias.unam.mx

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Contenido

1. Introducci´n o 2. Caminatas aleatorias 2.1. Caminatas aleatorias . . 2.2. El problema del jugador Notas y referencias . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....