Procesos estocasticos

PROBABILIDAD Y PROCESOS ESTOCASTICOS AXIOMAS DE PROBABILIDAD I) 0 ≤ P(A) II) P(S) = 1 III) Si A∩B=Φ, entonces P(AUB)=P(A)+P(B) En general si Ai∩Aj=Φ, P[A1UA2U……UAn] = P(A1)+P(A2)+….+P(An)
COROLARIOS

I) P[Ac] = 1-P(A) II) P(A) ≤ 1 III) P(Φ) = 0

⎡N ⎤ N IV) Si los Ai’s son mutuamente excluyentes, entonces: P ⎢U Ai ⎥ = ∑ P(Ak ) ⎣ i=1 ⎦ k =1 V) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) N ⎡N ⎤ N VI) P ⎢U Ak ⎥ = ∑P(Ak ) − ∑ P(A j ∩ Ak ) − ( 1 )n+1 P(A1 ∩ A2 ∩ A3...... ∩ AN ) ⎣ k =1 ⎦ k =1 j x1 si ax} = 1 - P{x≤x} = 1 - Fx(x) Fx(x) es continua por la derecha, esto es, Fx(x+) = Fx(x) P[x1 x] = e − λx x > 0 b.- Encuentre P[T < x ≤ 2T]; T = 1/λ

Fx(x) = P[x ≤ x] Fx(x) = 1 − P[x > x] Fx(x) = 1 − e
− λx

⎧0 Fx(x) = ⎨ − λx ⎩1 − e ⎧0 f x(x) = ⎨ − λx ⎩ λe

x≤0 x>0 x≤0 x>0

P[T < x ≤ 2T ] = e −1 − e −2 =0.233

P[T < x ≤ 2T ] = 1 − e −2Tλ − ( 1 − e −Tλ )

P[T < x ≤ 2T ] = Fx( 2T) − Fx(T)

Ejemplo: Encontrar y dibujar la función de densidad fx(x)

Fx ( x)
Incorrecto

f x ( x)

1 1/2 1/4 x
f x(x)

Se debe cumplir que

∫

∝

−∝

f x(x)dx = 1
1 /2 1 /4 x

Ejemplos1 de funciones de distribución y densidad de probabilidad (discretas y contínuas). Bernoulli Geométrica Gausiana(Normal) Uniforme Exponencial Gamma Binomial Rayleigh Poisson Cauchy Laplace

Puede dar un ejemplo donde se aplique cada una de las variables aleatorias?
Ejercicio 3.14: La función Fx(x) de una variable aleatoria x está dada por la figura. Halle las siguientes probabilidades:

1⎤ ⎡ P ⎢ x < − ⎥ =0 2⎦ ⎣

⎡1 − ⎤ 1 5 3 ⎡1 ⎤ P ⎢ ≤ x < 1⎥ = Fx 1- − Fx ⎢ ⎥ = − = ⎣4 ⎦ ⎣ 4 ⎦ 2 16 16 P[x ≥ 5] = 1 −P[x < 5] = 1- P[x≤5] =1-Fx(5) = 1-1=0

[]

P[x < 5] = P[x ≤ 5] − P[x = 5] = Fx (5) − Fx (5) − Fx 5− = 1 − ( 1 − 1 ) = 1

⎛ 1− ⎞ 5 11 ⎡1 ⎤ P ⎢ ≤ x ≤ 1⎥ = Fx (1) − Fx ⎜ ⎟ = 1 − = ⎜4 ⎟ 16 16 ⎣4 ⎦ ⎝ ⎠

[

( )]

P[x ≤ 0] = Fx (0) =

1 4

1⎤ 1⎤ 3 5 ⎡ ⎡ ⎛1⎞ P ⎢ x > ⎥ = 1 − P ⎢ x ≤ ⎥ = 1 − Fx ⎜ ⎟ = 1 − = 2⎦ 2⎦ 8 8 ⎣ ⎣ ⎝2⎠

Ejemplo: Suponga que una moneda se lanza tres veces y que lasecuencia de caras y sellos se registra. El espacio muestral para este experimento es: S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} Se define la variable aleatoria X = Número de caras en el lanzamiento de las tres monedas. ζ X(ζ) HHH 3 HHT 2 HTH 2 HTT 1 THH 2 THT 1 TTH 1 TTT 0

Por tanto X es una variable aleatoria que tomas los valores Sx = {0,1,2,3} Si se asume que p = P{ocurre una cara} P{X=0} =P{TTT} = (1-p)3 P{X=1} = P{HTT}+P{THT}+P{TTH} = 3p(1-p)2 P{X=2} = P{HHT}+P{HTH}+P{THH} = 3p2(1-p) P{X=3} = P{HHH} = p3 Si se asume que p=1/2 →

1

Ver Sección 3.4 Libro Texto

Ejercicio: Una variable aleatoria x tiene una función de densidad de probabilidad: cx(1-x) 0 ≤x≤1 fx(x) = 0 de otra manera a) Hallar c
+∞

b) Hallar P[1/2 ≤ x ≤ 3/4]

c) Hallar Fx(x)

−∞

∫

f x (x)dx

=1 = 1
1

3⎤ ⎡1 P⎢ ≤ x ≤ ⎥ 4⎦ ⎣2 =

Fx(x) = P[x ≤ x ] P[x ≤ x ] =
x −∞

∫ c x(
0 2

1

1 − x)dx
3

∫
1 2

3 4

6 x( 1 − x)dx
3 4 1 2

∫ f (x)dx
x

x

⎡ x x − c⎢ 3 ⎣ 2 1⎤ ⎡1 c⎢ − ⎥ 3⎦ ⎣2 c = 1 6 c = 6

⎤ ⎥ = 1 ⎦0 = 1

= ∫ 6 x( 1 − x)dx
0

⎡ x2 x3 ⎤ = 6⎢ − ⎥ 3 ⎦ ⎣ 2

⎡ x 2 x3 ⎤ = 6⎢ − ⎥ 3 ⎦0 ⎣2 = 3x 2 − 2 x3

x

9 1 1 ⎤ ⎡ 9 6⎢ − − + 64 8 24 ⎥ ⎣ 32 ⎦ 11 = = 0.34375 32

Función de Distribución condicional

Fx(x/M) = P(x ≤ x/M) =
Propiedades:

P[(x ≤ x) ∩ M ] P(M )

F x ( ∞ /M) = 1 F x ( − ∞ /M) = 0

P(x1 < x ≤ x2 /M) = Fx(x2 /M)− Fx(x1 /M) =

P(x1 < x ≤ x2;M) P(M)

Función de Densidad Condicional

f x(x/M) =

P(x < x ≤ x + Δx/M) dFx(x/M) donde M viene dado en términos de x = lim Δx→0 Δx dx

Ejemplo: Determine la función Fx(x/M) yfx(x/M) dado M = {x≤a} Caso 1: x ≤ a

Fx(x/M) = P x ≤ x

[

x (x ] = P[(x ≤P(x) ∩a) ≤ a)] M ≤

Fx(x/x ≤ a) =
Caso 2: x > a

P(x ≤ x) Fx(x) = P(x ≤ a) Fx(a)

f x(x/x ≤ a) =

f x(x) Fx(a)

P(x ≤ x,x ≤ a) P(x ≤ a) P(x ≤ a) Fx(a) Fx(x/x ≤ a) = = =1 P(x ≤ a) Fx(a) Fx(x/x ≤ a) =
Ejemplo: Encuentre Fx(x/M) y

f x(x/x ≤ a) = 0

f x(x/M) dado M = {b < X ≤ a}

siendo a>b

Fx(x/b...