procesos estocasticos

FERNANDO ALVAREZ

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PROCESOS MARKOVIANOS DE DECISIÓN
PROCESOS ESTOCASTICOS
Un proceso estocástico se define como una colección indexada de variables aleatorias

X t  en donde el índice t toma valores de un conjunto T. Con frecuencia T se toma como
el conjunto de enteros no negativos y X t representa una característica de interés mensurable
en el tiempo t. Por ejemplo, elproceso estocástico, X 1, X2, X3,..., puede representar la colección
de demandas semanales o mensuales de un producto dado.
Cualquier secuencia de valores asociados al proceso estocástico se define como una realización
del proceso. Por ejemplo,
X0 = 9, X1 = -3, X2 = 324, X3 = 8 ....
El conjunto de todos los posibles valores asociados a un proceso estocástico se define como
espacio deestados. El valor asociado a X k es el estado del proceso en el tiempo k. Se define
como una transición, a cualquier cambio de estado. Si el espacio de estado contiene valores
discretos el proceso estocástico se denomina discreto; de otra manera, el proceso estocástico
es continuo.
Ejemplo 1
Considérese el siguiente problema de inventarios. Una tienda de cámaras tiene en almacén un
modelo especialde cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D 1, D2, D3,... las
demandas de esta cámara durante la primera, segun da, tercera,... semana respectivamente.
Se supone que las D i son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que
tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X 0 el número de cámaras que se tiene al
momento de iniciar el proceso, X1 el número decámaras que se tiene al final de la semana
uno, X2 el número de cámaras que se tiene al final de la semana dos, etc. Supóngase que X 0 =
3. El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan en el momento de abrir la
tienda el lunes. La tienda utiliza la política (s,S), que consiste en ordenar hasta S unidades
siempre que el nivel de inventario baje de s (S ≥ s). Si el nivel deinventario es s o mayor, no
se ordena. En particular si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor
que s = 1 (no hay cámaras), ordena hasta S = 3. De otra manera no coloca la orden, si se
cuenta con una o más cámaras en el almacén. Se supone que las ventas se pierden cuando la
demanda excede al inventario. Represente el problema como un proceso estocástico.

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Solución:
1. Estados del proceso: 0, 1, 2, 3 (número posible de cámaras en inventario al final de la
semana).
2. Variables aleatorias :

X t  para t = 0, 1, 2,..
máx(3  Dt 1 ),0si, X t  1
X t 1  
máx( X t  Dt 1 ),0si, X t  1

Ejemplo 2
Una fresadora en una empresa que elabora herramientas de mano puede encontrarse en
cualquier turno detrabajo de cualquier día en una de las siguient es situaciones: 1) Operando;
2) Parada por mantenimiento preventivo; 3) Parada por mantenimiento correctivo; 4) Parada
por falta de trabajo y/o personal operativo; y 5) Parada por falta de energía eléctrica.
Represente el problema como un proceso estocásti co.
Solución:
1. Estados del proceso:

1, 2, 3, 4, 5 (1. Operando; 2. Parada por mantenimientopreventivo; 3. Parada por mantenimiento correctivo; 4. Parada por falta de trabajo y/o
personal operativo; y 5. Parada por falta de energía eléctrica).
2. Variables aleatorias:

X t  para t = 0, 1, 2,..

Diagrama de transición

1

2

4

3

5

3. Representación gráfica: La figura anterior indica únicamente las posibles transiciones del
estado 1 a otro en un período detiempo, el arco 1 -5 indica que la máquina estuvo
operando en el tiempo t, pero en el tiempo t+1 esta parada por falta de energía
eléctrica. Graficas similares corresponderían a los 4 restantes estados del sistema.
MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES
Se dice que una matriz estocástica P es regular si todos los elementos de una potencia Pm son
positivos.

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