Procesos Estocásticos
Examen de Primera Vuelta
1. Demuestre que
a) ������ (��)������ (��) ≤ ������ (�� + ��) ≤ ������ (��)������ (��) + [1 − ������ (��)]
Primera desigualdad; porChapman-Kolmogorov sabemos que
������ (�� + ��) = ∑�� ������ (��)������ (��);
es evidente que se cumple la siguiente desigualdad:
������ (�� + ��) ≥ ������ (��)������ (��);
para todo �� que perteneceal espacio de estados.
Ahora si suponemos que �� = �� �� �� = �� tenemos que
������ (�� + ��) ≥ ������ (��)������ (��)∎
Segunda desigualdad; también usaremos Chapman-Kolmogorov, suponiendo ��= ��
������ (�� + ��) = ∑�� ������ (��)������ (��) = ������ (��)������ (��) + ∑��≠�� ������ (��)������ (��) ;
���� �������� ������ ���� ���������������� ���� ��1 �� ��2 , ���������� ���� ′�������� ����������������������������,
����������������,
���� ���������� �� ���������� �� ��1 �� ��2 ,
������ (��)������ (��) + � ������ (��)������ (��) ≤ ������ (��)������ (��) + � ������ (��)
Por lo tanto��≠��
= ������ (��)������ (��) + [1 − ������ (��)]
������ (�� + ��) ≤ ������ (��)������ (��) + [1 − ������ (��)]∎
b) ∑∞ ������ (��) = ������ [1 + ∑∞ ������ (��)]
��=1
��=1
Sabemosque
Entonces,
��≠��
������ (��) = ∑�� ������ (��) ������ (�� − ��);
��=1
∞
� ������ (��) = �
��=1
∞
��=1
�
��
������ (��)������ (�� − ��) = ������� (1)������ (0)� +������� (1)������ (1) + ������ (2)������ (0)�
��=1
+������� (1)������ (2) + ������ (2)������ (1) + ������ (3)������ (0)�
+������� (1)������ (3) + ������ (2)������ (2) + ������ (3)������ (1) + ������(4)������ (0)�
+������� (1)������ (4) + ������ (2)������ (3) + ������ (3)������ (2) + ������ (4)������ (1) + ������ (5)������ (0)� + ⋯
= ∑∞ ∑∞ ������ (��)������ (��) = ∑∞ ������ (��) ∑∞ ������ (��) = ������������� (0) + ∑∞ ������ (��)�
��=0
��=1
��=1
��=1 ��=0
= ������ �1 + �
Por lo tanto
∞
������ (��)�
��=1
∞
� ������ (��) = ������ �1 + �
��=1
∞...
Regístrate para leer el documento completo.