Procesos secuenciales lineales

Tema 7 Procesos secuenciales lineales
7.1 Introducción
La teoría de las transformaciones lineales permite elaborar técnicas analíticas que resultan adecuadas para realizar diversos análisis.
Uno de estos análisis consiste en estudiar una situación que evoluciona a lo largo de una secuencia de lugares, o de periodos de tiempo, transformándose de modo lineal. Conocido el estado en que seencuentra la situación inicialmente y como es la transformación lineal que experimenta en cada secuencia, se puede determinar el estado de la situación transcurridas “n” secuencias o períodos de tiempo y si el estado tiende a estabilizarse. Estos procesos secuenciales se encuentran en el centro de los análisis económicos dinámicos.
Otro tipo de análisis es el que surge al buscar los máximos y mínimos defunciones de varias variables. Consiste este análisis en el estudio del signo de valores numéricos que adquieren ciertas expresiones polinómicas de “n” variables, llamadas formas cuadráticas, cuando las variables son libres o cuando están restringidas a un subespacio Rn.
Aparte de los dos tipos mencionados hay otros muchos análisis que requieren técnicas derivadas de las transformacioneslineales, entre otros: la descomposición de grandes sistemas lineales en subsistemas independientes; el estudio de las cónicas y las cuadráticas; el análisis estadístico multivariante de componentes principales y un largo, etc.
7.2 Transformación lineal: autovalores y autovectores.
Toda matriz cuadrada A, de orden “n”, determina una aplicación lineal del espacio Rn en sí mismo que transforma a cadavector-columna X en el vector columna Y=A × X.
En efecto, Y= A × X es lineal ya que el transformado de cualquier combinación lineal de dos vectores X1 y X2 es
A ( k1X1 + k2X2) = k1 (AX1) + k2 (AX2)
la misma combinación lineal de sus transformaciones. Si la matriz A es regular, la transformación lineal es biyectiva, es decir, cada vector X se transforma en su vector Y=A × X y cada vector Y es eltransformado de un vector X= A-1 × Y, al existir A-1.
Por tratarse de una aplicación de R en Rn puede existir algún vector X, no nulo, que se transforme en un múltiplo suyo, es decir,
AX = λX = λIn X.
A tales vectores no nulos se les denomina autovectores asociados al escalar λ y a este último se denomina autovalor.
La existencia de autovalores y autovectores asociados a ellos requiere quetenga solución distinta de la nula el sistema homogéneo (A – λI n ) × X = 0 .
En efecto, si X es autovector asociado al autovalor λ, ocurre que AX = λI nX o, lo que es igual, ( A - λI n ) × X = 0, sistema homogéneo que ha de tener solución distinta de la trivial por ser X autovalor.
La matriz (A – λI n ) se denomina matriz característica de A
A- λIn=a11-λa12…a1na21a12-λ…a2n⋮an1⋮an2⋱⋮…anm-λEl determinante de la matriz característica es un polinomio en λ, de grado “n”, denominado polinomio característico de A
A-λIn=a11-λa12…a1na21a12-λ…a2n⋮an1⋮an2⋱⋮…anm-λ=
= (-λ)n + (a11 + a22 + ··· + anm) (-λ)n-1 + ··· + |A|.
La ecuación | A- λI n | = 0 se denomina ecuación característica de A.
Calculo de autovalores
Se λ es autovalor, el sistema homogéneo (A – λI n ) × X = 0 ha de tenersolución distinta de la nula, y para ello se requiere que se anule el determinante de la matriz característica (A – λI n ) . por lo tanto, los autovalores son las raíces del polinomio característico de A, o lo que es igual las “n” soluciones {λ1 ,λ2 ,…λn } de la ecuación característica, suprimiendo las que no sean reales
| A- λI n | = 0 .
Cálculo de los autovectores
Cada autovector λilleva asociados como autovectores las soluciones, no nulas, del sistema homogéneo ( A - λI n ) × X = 0 . Simbolizando el conjunto de autovectores asociados al autovalor λi por L (λi)
L (λi) = {X ≠ 0/( A - λI n ) × X = 0 }

EJEMPLO
Cálculo de los autovalores y autovectores de la matriz
A=12-14
SOLUCIÓN. Los autovalores son los soluciones reales de la ecuación característica
A-λI2=0,...