procesos

Introducci´n a los
o
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PROCESOS ESTOCASTICOS
Luis Rinc´n
o
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias UNAM
Circuito Exterior de CU
04510 M´xico DF
e
Versi´n: Enero 2011
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Una versi´n actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato
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electr´nico en la direcci´n
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http://www.matematicas.unam.mx/lars

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Pr´logo
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El presente texto contienematerial b´sico en temas de procesos estoc´sticos a nivel
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licenciatura. Est´ dirigido a estudiantes de las carreras de matem´ticas, actuar´
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a
ıa,
matem´ticas aplicadas y otras carreras afines. Este trabajo es una versi´n ampliada
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de las notas de clase del curso semestral de procesos estoc´stico que he impartido
a
en la Facultad de Ciencias de la UNAM a alumnos de las carrerasde actuar´ y
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matem´ticas.
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Los temas tratados en este texto corresponden a ciertos modelos cl´sicos de la
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teor´ de los procesos estoc´sticos, y a ciertas preguntas o problemas matem´ticos
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a
a
que uno puede plantearse al estudiar tales modelos. El texto inicia con una explicaci´n del concepto de proceso estoc´stico y con algunas definiciones y ejemplos
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generales de estetipo de modelos. A manera de un acercamiento inicial se presenta
primero una introducci´n breve al tema de caminatas aleatorias en una dimensi´n,
o
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y particularmente se analiza el problema de la ruina del jugador. En el segundo
cap´
ıtulo se estudian cadenas de Markov a tiempo discreto y despu´s se estudia el
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mismo tipo de modelo para tiempos continuos, para ello se presenta primero elproceso de Poisson. Se estudian despu´s los procesos de renovaci´n, y brevemente
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tambi´n la teor´ de la confiabilidad. Se presenta despu´s una introducci´n a la
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teor´ de martingalas a tiempo discreto, en donde se estudian solo algunos de sus
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muchos resultados y aplicaciones. Se incluye adem´s una introducci´n al movimiena
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to Browniano. El texto finaliza con unaexposici´n compacta y ligera del c´lculo
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estoc´stico de Itˆ. El material completo excede lo que regularmente es impartido
a
o
en un curso semestral, y una selecci´n adecuada de temas ser´ necesaria. Cada
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cap´
ıtulo contiene material que puede considerarse como introductorio al tema. Al
final de cada uno de ellos se proporcionan algunas referencias para que el lector
pueda precisar oprofundizar lo que aqu´ se presenta.
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El texto contiene una colecci´n de ejercicios que se han colocado al final de cada
o
cap´
ıtulo, y se han numerado de manera consecutiva a lo largo del libro. Se incluyen
tambi´n sugerencias o soluciones de algunos de estos ejercicios. A lo largo de la
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exposici´n el lector encontrar´ tambi´n algunos otros ejemplos y ejercicios, los
o
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cuales sonparticularmente utiles para el estudiante autodidacta, o para presentar
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en clase si se adopta alguna parte de este texto como material de estudio en alg´ n
u
curso.
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Este material fue escrito en L TEX, las gr´ficas fueron elaboradas usando el excelente
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paquete Pstricks, y las fotos fueron tomadas del archivo MacTutor (http://wwwhistory.mcs.st-and.ac.uk/) de la universidad deSt. Andrews en Escocia. La mayor
parte de este trabajo fue elaborado mientras realizaba una estancia sab´tica en
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la universidad de Nottingham durante el a˜o 2007, y agradezco sinceramente al
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Prof. Belavkin su amable hospitalidad para llevar a cabo este proyecto, y a la
DGAPA-UNAM por el generoso apoyo econ´mico recibido durante esa agradable
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estancia.
Agradezco sinceramente todos loscomentarios, correcciones y sugerencias que he
recibido por parte de alumnos y profesores para mejorar este material. Toda comunicaci´n puede enviarse a la cuenta de correo que aparece abajo.
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Luis Rinc´n
o
Enero 2011
Ciudad Universitaria UNAM
lars@fciencias.unam.mx

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Contenido

1. Introducci´n
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2. Caminatas aleatorias
2.1. Caminatas aleatorias . .
2.2. El problema del...