Produccion

Unidad 1

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
1.1 Matrices

Definici´n 1 (Matriz). Una matriz, denotada por una letra may´scula, es un o u arreglo rectangular de n´meros. u Por ejemplo, A= 1 2 0 −2 4 5 ,

es una matriz de dos filas y tres columnas: la fila uno (f1 ) est´ constituida por a los elementos 1, 2 y 0, y la fila dos (f2 ) por −2, 4 y 5. Las tres columnas son: Columna uno (c1): 1, -2 Columna dos (c2 ): 2, 4 Columna tres (c3 ): 0, 5. En general, una matriz de m filas y n columnas la escribiremos como Am×n = o [aij ] ´ A ∈ Mm×n , que en forma matricial es   a11 a12 · · · a1n    a21 a22 · · · a2n    A= . . . , . .   . . .   . am1 am2 · · · amn

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Conceptos y ejemplos de ´lgebra lineal para ne´fitos (28 de enero de 2010) a o

donde la fila i es fi = ai1ai2 · · · ain y la columna j es  a1j  para i = 1 . . . m ;

Diremos que Am×n es una matriz de dimensi´n m × n. o

  cj =  a2j  para j = 1 . . . n .   amj

Al elemento de la i–´sima fila y la j–´sima columna lo denotaremos como e e aij , por ejemplo, en la matriz A3×2 ,  2 1 

los elementos son a11 = 2, a12 = 1, a21 = 4, a22 = −2, a31 = 0 y a32 = 1. Ejemplo 1 (Notas de clase).Suponga que para el curso de ´lgebra lineal hay a matriculados siete alumnos al final del semestre: Mar´ Pedro, Carlos, Luis, Ana, ıa, John, y M´nica. Podemos organizar las notas de sus tres parciales y seguimiento o en una matriz de la forma P1  4,5  3,0   5,0  A = 1,5   3,5  4,0  5,0 P2 P3 3,5 2,0 3,0 2,0 3,5 4,0 3,0 3,0 3,0 2,0 5,0 5,0 S  4,0   1,0  4,0   5,0  3,0  5,0 Mar´ ıa Pedro Carlos Luis Ana John M´nica o

  A = 4 −2 ,   0 1

3,5 4,0 4,5

Entonces, cada aij indica la nota del alumno i en el parcial j o seguimiento. Por ejemplo, a32 = 3,0 indica la nota obtenida por Carlos en el parcial 2.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

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Ejemplo 2 (Grafo). Suponga que tenemos un sistema de comunicaci´n como puesto por seis nodos como elque se muestra en la figura 1.1. Las flechas indican el sentido de comunicaci´n, por ejemplo: e1 env´ mensajes a e2 y viceversa; e1 o ıa tambi´n puede enviar mensajes a e5 y a e6 , pero ni e5 ni e6 pueden enviar a e1 . e
e6 e2

e1

e5 e4 e3

Figura 1.1: grafo dirigido de un sistema de comunicaci´n o

donde cada aij indica que el emisor i puede enviar mensajes al receptor j s´lao mente si aij= 1. Ejemplo 3 (Producci´n). La compa˜´ Electr´n cuenta con tres m´quinas para o nıa o a fabricar alambres de calibre 10, 12 y 14. Para elaborar un rollo de 100 metros de alambre 10 se demora tres horas en la m´quina I, dos horas en la m´quina II y a a una hora en la m´quina III. Para el alambre 12 tarda dos horas en la m´quina a a I, una hora en la II y tres en la III. Para el alambre 14 una horaen la I, una hora en la II y dos en la III. Si la compa˜´ tiene una disponibilidad semanal de nıa 65 horas en la m´quina I, 45 en la m´quina II y 50 en la III, ¿cu´ntos rollos de a a a cada tipo de alambre debe fabricar para aprovechar todo el tiempo disponible en cada m´quina? a

La representaci´n matricial del o  0  1  0  A= 0   0

anterior grafo es  1 0 0 1 1  0 0 0 0 1  0 00 1 0  , 0 0 0 1 1   0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

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Conceptos y ejemplos de ´lgebra lineal para ne´fitos (28 de enero de 2010) a o

La informaci´n suministrada es representada matricialmente de la siguiente o forma:

al10 al12 al14   . . 65 2 1 . a  M´quina I  3   . A = 2 a . 1 1 . 45 M´quina II   . a . 1 3 2 . 50 M´quina III La forma de resolver este problema la veremos m´sadelante. a Definici´n 2 (Matriz cuadrada). Una matriz Am×n es cuadrada si m = n, es o decir, si el n´mero de filas es igual al de columnas. u Ejemplo 4. La matriz A4×4 es cuadrada   2 3 0 1   4 5 2 −7  A= 8 2 1 0  .   1 2 4 0 En una matriz cuadrada, An×n , los elementos a11 , a22 , . . . , ann conforman la diagonal principal. En la matriz A4×4 , del ejemplo 4, la diagonal principal...