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Matemáticas finitas resumen del tema: programación lineal

Herramientas: Gráficador programación lineal |Herramienta Gauss-Jordan y pivotador | Herramienta Excel Gauss-Jordan y pivotador | Herramienta método simplex

Tópicos: Problema de programación lineal | Dibujar el conjunto solución de una desigualdad lineal | La región factible | Método gráfico | Problema de maximización estándar | Método simplex para problemas de maximización estándar | Solución básica | Restricciones no estándar | Métodosimplex para problemas de minimización | Solucionar un juego matriz por el método simplex

Problema de programación lineal (PL)
Un problema de programación lineal es un problema en cual debemos hallar el valor máximo o mínimo de una expresión lineal

ax + by + cz + . . .
(llamada la función ojectiva), sujeta a unas restricciones lineales de la forma
Ax + By + Cz + . . .≤ N
o
Ax + By + Cz + . ..≥ N.
El valor más grande o más pequeño de la función objetiva se llama el valor óptimo, y un conjunto de valores de x, y, z, . . . que se resultan en el valor óptimo es la solución óptima. Las variables x, y, z, . . . se llaman las variables decisión.

Inicio de página Ejemplo
El siguiente es un ejemplo de un problema PL:

Determine el valor máximo de

p = 3x - 2y + 4z
sujeta a
4x + 3y- z ≥ 3
x + 2y + z ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
La función ojectiva es p = 3x - 2y + 4z. Las restricciones son

4x + 3y - z ≥ 3
x + 2y + z ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
P ¡Espera! ¿Porqué no puedo sencillamente escoger, por ejemplo, que tenga z un valor muy grande (como z = 1,000,000) y así hacer que p sea como grande que quiero?
C No se puede porque: Escoja unap estaría demasiado grande.z tieneun valor negativo en la primera restricción.Se tiene que camiar x primero.Violaría la primera restricción.Violaría la segunda restricción.Ninguna de las anteriores.¡Llévame al tutorial!¡ Llévame fuera de aqui!

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Dibujar el conjunto solución de una desigualdad lineal
Para dibujar la región representada por una desigualdad en dos variables:

A. Dibuje la recta que se obtienepor sustituir una igualdad por la desigualdad.

B. Escoja un punto de prueba que no está en la recta ((0,0) es una elección conveniente si la recta no pasa por el origen. Si pasa por el origen, un punto en un eje sería suficiente).

C. Si el punto de prueba satisface la desigualdad, el conjunto de las soluciones es la región entera en el mismo lado de la recta. Si no, el conjunto solución esla región del otro lado de la recta. En cualquier de los dos casos, sombree la región opuesta para dejar claro el conjunto solución.

Inicio de página Ejemplo
Para dibujar la desigualdad lineal:

3x - 4y ≤ 12,
Primero dibuje la recta 3x - 4y = 12.

Después, elije el origen (0, 0) como el punto de prueba (pues no está en la recta). Sustituyendo x = 0, y = 0 en la desigualdad, obtenemos
3(0)- 4(0) ≤ 12,
una declaración verdadera. Entonces, (0, 0) sí está en el conjunto solución, que se consiste entonces de todos los puntos en el mismo lado que (0, 0). Dejamos claro esta región, mientras sombreamos la región no solución para ocultarla.

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Región factible
La región factible determinada por un conjunto de desigualdades lineales es el conjunto de puntos quesatisfacen a la vez todas las desigualdades.

Para dibujar la región factible determinada por un conjunto de desigualdades lineales: Dibuje las regiones determinadas por cada desigualdad recordando en cada caso sombrear la parte del plano que no quiere. La región que permanece sin sombreado es la región factible.

Inicio de página Ejemplo
La región factible determinada por el siguiente conjunto de...