Producto Cruz

Producto Cruz
El producto cruz es una operación vectorial para vectores en 3D en la que dos Vectores con el mismo punto de inicio forman un plano y mediante esta operación obtenemos un vectorperpendicular a este plano; por lo tanto el vector resultante es ortogonal a cada uno de los vectores que forman el plano.

Definición:
Si  y  entonces el producto cruz de  y es el vector  dondeTambién se define el producto cruz como:


Demostración de la ortogonalidad del producto cruz
Debemos recordar que dos vectores son ortogonales si .
Demostramos primero para el vector Ahora demostramos para el vector 






Propiedades del Producto Cruz








Ejemplo # 1
Si tenemos  encontrar el producto cruz entre ellos:





Ejemplo # 2
Sitenemos  encontrar el producto cruz entre ellos:







Ejemplo # 3
Si tenemos  encontrar el producto cruz entre ellos:






Como podemos ver el producto cruz resultante es igual al vector nulo elcual nos dic de que los vectores son paralelos el uno del otro.
Otra forma para poder comprobar si un vector es paralelo a otro es ver si cualquiera de los dos es linealmente dependiente del otro.Ejemplo # 4
Encuentre 3 puntos en el plano P, Q y R, para la siguiente ecuacion y encuentre 

Propongamos los siguientes puntos que satisfacen la igualdad de la ecuación:
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Encontramos elvector .
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.
Encontramos el vector 
.
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Ahora calculamos
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Recordando que .
.
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Ejemplo # 5
Encuentre 3 puntos en el plano M, N y O, para la siguiente ecuacion y encuentre 

Propongamos lossiguientes puntos que satisfacen la igualdad de la ecuación:
.
Encontramos el vector .
.
.
Encontramos el vector 
.
.
Ahora calculamos
.
Recordando que .
.
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Ejemplo # 6
Sitenemos  encontrar el producto cruz entre ellos:
 para ver de mejor manera el proximo paso lo podemos ver de esta forma 





Ejemplo # 7
Si tenemos  encontrar el producto cruz entre ellos:...