producto de una matríz

8.- Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k•aij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k•A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, productode escalares por matrices.

Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1•A = A (elemento unidad)

Matriz fila: Es una matriz constituida por una sola fila.
Matriz columna: Es una matriz con una sola columna.

10-PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
En cursos anteriores se ha estudiado el producto escalar de vectores, que en el caso de R2, se definía de la forma siguiente:
Si u = (a , b) y v = (c , d) son dos vectores, su producto escalar es: u . v = a . c + b . d.
De forma análoga, se puede definir el producto de una matriz fila por una matriz columna:





Es evidente que elnúmero de elementos de la matriz fila tiene que ser igual al número de elementos de la matriz columna




12.- Llamamos operaciones elementales fila a las siguientes operaciones que son el resultado de multiplicar por la izquierda (premultiplicar) una matriz especial (matriz elemental):
• Multiplicar la fila s por un escalar a no nulo

• Sumar a la fila s la fila r multiplicada por elescalar a

• Intercambiar las filas r y s

A cada una de estas matrices se les denomina elemental, al producto de matrices elementales también.
Las matrices elementales son regulares.

Matrices equivalentes ~
Dos matrices de la misma dimensión, A y B, son equivalentes si existe una matriz elemental fila (o producto de ellas), E, tal que A = E•B. Lo expresamos con A ~ B

EjemplosMatriz aumentada: la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.
Sean las matrices y , donde

Entonces la matriz aumentada se representa de la siguiente manera:

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar paraencontrar la inversa de una matriz.

Eliminación de Gauss-Jordán: la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante lareducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Forma escalonada y escalonada reducida
Dos formas especiales de matrices son la escalonada y laescalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:
1. Todas las filas 1 están en la parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote"; éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).
Si una matriz A cumple con esas propiedades, sedice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de renglón escalón o tan solo en forma escalonada reducida.
1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1
2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.
Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de...