Producto escalar

Producto escalar
En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida sobre un espaciovectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:
[pic]
[pic][pic]
donde para dos vectores[pic]cualesquiera del espacio vectorial [pic], se obtendrá un escalar (denotado por [pic], o más corrientemente [pic]), del cuerpo o campo de escalares [pic].
En el caso de espacios vectoriales reales(sobre [pic]) dotados de una base ortonormal (p.e., la base canónica de [pic]), el producto escalar de dos vectores [pic]y [pic]con componentes [pic]y [pic]puede calcularse sumando los productos delas componentes de los vectores dos a dos:
[pic]= [pic]=[pic] = [pic]
• Nótese que el producto escalar de un vector [pic]por sí mismo, por componentes, corresponde a:
[pic]= [pic]=[pic] =[pic]
Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una formacuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación [pic]donde V es un espacio vectorial y [pic]es el cuerpo sobre el que está definido V. [pic]debe satisfacerlas siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: [pic], y análogamente [pic]
2. Hermiticidad: [pic],
3. Definida positiva: [pic], y [pic]si y sólo si x = 0,donde [pic]son vectores de V, [pic]representan escalares del cuerpo [pic]y [pic]es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., [pic]), la propiedad de ser sesquilineal seconvierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por [pic]o por [pic].
Un espacio vectorial sobre el cuerpo [pic]o [pic]dotado de un...