Producto escalar

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores u = hu1; u2; u3i, v = hv1; v2; v3i y w = hw1;w2;w3i el triple producto
escalar de los vectores u, v y w se de¯ne
(u £ v) ¢ w =
¯¯¯¯¯¯
u1 u2 u3
v1 v2 v3w1 w2 w3
¯¯¯¯¯¯
El triple producto escalar se de¯ne como el determinante anterior, esto quiere decir que
hereda muchas de las propiedades de los determinantes, una de ellas dice que unapermutaci¶on
de ¯las o columnas impl¶³ca un cambio de signo en el valor del determinante. Por ¶esta raz¶on,
el producto escalar no es conmutativo.
Observaciones
1. Puntos Coplanares; Cuatro o mas puntos soncoplanares si existe un plano que los
contenga.
2. Vectores Coplanares; Dos o mas vectores son coplanares si existe un plano que los
contenga.
3
3. Geometricamente el triple producto escalarde¯ne un s¶olido (Paralelep¶³pedo), el vol¶umen
de ¶este s¶olido esta dado por
Vol¶umen = ju £ v ¢ wj
Figura 3: Triple producto representaci¶on geom¶etrica
4. Las observaciones anteriores permiten unacaracterizaci¶on de cuando tres vectores o
cuatro punto son coplanares, ¶esta es la siguiente
u; v y w son coplanares , u £ v ¢ w = 0
Figura 4: Vectores y puntos coplanares
4
Ejemplo 2
Dadoslos puntos A(1; 2;¡3), B(¡1; 1;¡2), C(4; 2;¡1) y D(¡1; 0; 1) del espacio. Veri-
¯que si los puntos son coplanares y en caso de que no sean coplanares, hallar el vol¶umen del
tetraedro determinado.Soluci¶on
Como tenemos un criterio de »coplanares.en t¶erminos de vectores y la pregunta est¶a hecha
en t¶erminos de puntos, debemos constru¶³r los vectores, conviene que sea con origen en el
mismopunto, digamos que tal punto es A, sean u, v y v de¯nidos como sigue
u = B ¡ A; v = C ¡ A; w = D ¡ A
u = h¡2;¡1; 1i; u = h3; 0; 2i; w = h¡2;¡2; 4i
Con eso,
(u £ v) ¢ w =
¯¯¯¯¯¯
¡2 ¡1 1
3 0 2
¡2¡2 4
¯¯¯¯¯¯
= ¡2(0 ¡ (¡4)) + 1(12 + 4) + 1(¡6 ¡ 0) = 2
El resultado anterior indica que los vectores no son coplanares ya que es diferente de cero,
el valor absoluto de este resultado...