Producto Escalar

el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en inglés, dot product), es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El productoescalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puedeconsiderar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

donde es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido . La función (que toma como argumentos dos elementos de , y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre elcuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.
Todo producto escalar induce unanorma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

Asociatividad respecto al producto por un escalar m:
4.

Expresión analítica del producto escalar
Si losvectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal alos dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama tambiénproducto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante[1] :

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A laregla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
[editar] Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto

donde la última fórmula se interpreta como:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de...