Producto interno

PROBLEMAS RESUELTOS
Tema 4. Espacios con Producto Interno
ÁLGEBRA LINEAL

SUBTEMA: DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
Problema 1: En el espacio vectorial real
2

está definido el producto interno:2

(u v ) = u v + 2u v
1 1

2 2

∀ u = ( u1 , u2 ) , v = ( v1 , v2 ) ∈

Determinar mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el valor de k ∈ para el cual el conjunto A = {u, v} , donde u =( k + 5, k − 1) y v = ( −2,1) , es linealmente dependiente. SOLUCIÓN: * La desigualdad de Cauchy-Schwarz para u y v linealmente dependientes queda:

(u v ) = (u u ) ⋅ (v v )
2

o´

(u v ) = u⋅ v

* Calculando los productos internos:

(u v ) = ⎡( k + 5, k − 1) ( −2,1)⎤ = (k + 5)(−2) + 2(k − 1)(1) = −2k − 10 + 2k − 2 ⎣ ⎦ (u v ) = −12 (u u ) = ⎡( k + 5, k − 1) ( k + 5, k − 1)⎤ = (k + 5)(k+ 5) + 2(k − 1)(k − 1) ⎣ ⎦
= k 2 + 10k + 25 + 2k 2 − 4k + 2

(u u ) = 3k

2

+ 6k + 27

( v v ) = ⎡( −2,1) ( −2,1)⎤ = (−2)(−2) + 2(1)(1) = 4 + 2 ⎣ ⎦ (v v) = 6
* Calculando el módulo:

(u v) = −12 = 12
* Sustituyendo en la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia LópezAcosta

PROBLEMAS RESUELTOS
Tema 4. Espacios con Producto Interno
ÁLGEBRA LINEAL

(

u v

)

2

=

(u u ) ⋅ (v v )
2

(1 2 ) 2 = ( 3 k 144 = 18k 18k 18k ∴ k
2 2 2 2 2

+ 6 k + 2 7)(6 )

+ 36k + 162

+ 36k + 162 − 144 = 0 + 36k + 18 = 0 + 2 k + 1) = 0 + 2k + 1 = 0 −b ± b 2 − 4ac , por lo tanto: 2a

18(k

* Se sabe que k =
k=

−2 ± (−2) 2 − 4(1)(1) −2 ± 4 − 4 −2 = = =−1 2(1) 2 2

∴ Para k = −1 el conjunto A es linealmente independiente.

Problema 2: En el espacio vectorial real P≤2 de los polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales, estádefinido el producto interno:

( p q ) = ∑ p(i)q(i)
i =−1

1

Determinar, mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz, si el conjunto A = { x 2 + 1, x 2 − x} es linealmente dependiente o...